Enunciado

6. Considere as funções:

f x = 1 ,       0 ≤ x 0 ,       x < 0                       e                     g ( x ) 0 ,       0 ≤ x 1 ,       x < 0

Em cada parte verifique se a função dada é contínua em x = 0

a) f x

b) g ( x )

c ) f ( - x )

d) g ( x )

e) f x . g ( x )

f) f ( g x )

g) f ( x ) + g ( x )

Passo 1

a)Uma função f é contínua em x = a se

lim x → a ⁡ f x = f ( a )

Em particular:

lim x → a - ⁡ f x = a = lim x → a + ⁡ f ( x )

Então para saber se f é contínua em x = 0 basta calcular

lim x → 0 - ⁡ f x e lim x → 0 + ⁡ f ( x )

Esse é o raciocínio para todos os outros itens.

Quando x < 0 ,   f ( x )   =   0 , então lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ 0 = 0

Quando x ≥ 0 ,   f ( x )   =   1 , então

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ 1 = 1

Como os limites são diferentes ,temos que f não é contínua em x = 0 .

Passo 2

b)Quando x < 0 ,   g ( x )   =   1 , então lim x → 0 - ⁡ g ( x ) = lim x → 0 - ⁡ 1 = 1

Quando x ≥ 0 ,   g ( x )   =   0 , então

lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = lim x → 0 + ⁡ 0 = 0

Como os limites são diferentes ,temos que f não é contínua em x = 0 .

Passo 3

c ) Primeiro vamos ver o que é a função f(-x)

Se f x = 1 ,       0 ≤ x 0 ,       x < 0 , então: f - x = 1 ,       0 ≤ - x 0 ,       x < - 0         =         1 ,       0 ≥ x 0 ,       x > 0

Quando x ≤ 0 ,   f ( - x )   =   1 , então lim x → 0 - ⁡ f ( - x ) = lim x → 0 - ⁡ 1 = 1

Quando x > 0 ,   f ( x )   =   0 , então

lim x → 0 + ⁡ f ( - x ) = lim x → 0 + ⁡ 0 = 0

Passo 4

d)Como a função g ( x ) > 0 para todo x ∈ R , então g ( x )   =   g ( x ) .Então a resolução é análoga a letra b)

Passo 5

e)Primeiro vamos ver o que é f x . g ( x )

Quando 0 ≤ x ,   f ( x )   =   1   e g ( x )   =   0 , sendo assim, f x . g x = 1.0 = 0

Quando x < 0 ,   f ( x )   =   0   e g ( x )   =   1 , sendo assim, f x . g x = 0.1 = 0

Como a função f x . g x = 0 para todo x ∈ R , temos que

lim x → 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = 0 = f 0 . g 0 = 0

Portanto f x . g x é contínua em x = 0 .

Passo 6

f)Primeiro vamos ver o que é f ( g x )

Quando 0 ≤ x ,   g ( x )   =   0 , sendo assim, f g x = f 0 = 1

Quando x < 0 ,   g ( x )   =   1 , sendo assim, f ( g x ) = f ( 1 ) = 1

Como a função f ( g x ) = 1 para todo x ∈ R , temos que

lim x → 0 ⁡ f ( g ( x ) ) = 1 = f ( g 0 )

Portanto f ( g x ) é contínua em x = 0 .

Passo 7

g)Primeiro vamos ver o que é f ( x ) + g ( x )

Quando 0 ≤ x ,   f ( x )   =   1   e g ( x )   =   0 , sendo assim, f x + g x = 1 + 0 = 1

Quando x < 0 ,   f ( x )   =   0   e g ( x )   =   1 , sendo assim, f x + g x = 0 + 1 = 1

Como a função f x + g x = 1 para todo x ∈ R , temos que

lim x → 0 ⁡ f x + g ( x ) = 1 = f 0 + g 0 )

Portanto f x + g x é contínua em x = 0 .

Resposta

As letras a,b,c,d são descontínuas em x = 0 e as letras e, f, g são contínuas em x = 0 .

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55-Encontre lim x → π 4 ⁡ cos ⁡ x - s e nx x - π 4
52. Encontre lim x → 2 ⁡ cos ⁡ π x x - 2 . [ S u g e s t ã o ã : Seja t = π 2 - π x .]
51- Nas partes (a) a (c), encontre o limite fazendo a substituição indicada.a)lim x → + ∞ ⁡ xs e n 1 x ; t = 1 x b) lim x → - ∞ ⁡ x( 1 - cos ⁡ 1 x ) ; t = 1 x c) lim x → π ⁡ π - x s e n x ; t = π - x