Enunciado

Seja f (x) = a^x , em a > 0 e a a != 1 é um real dado. Mostre que f^' (x) = a^x l n a .

Passo 1

Oi, galerinha! Nesse problema temos que demonstrar uma derivada de

f (x) = a^x

e vamos fazer isso usando a definição de derivada.

Para quem não lembra, temos que para qualquer p real a derivada de f em p é:

f^' (p) = (f (x) - f (p))/(x - p) = (a^x - a^p)/(x - p)

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Primeiro, vamos tomar h = x - p de modo que, quando x tende a p , h tende a zero. Olha só

l i m_x -> p (a^x - a^p)/(x - p) = l i m_h -> 0 (a^(h + p) - a^p)/(h)

Agora vamos ajeitar,

l i m_h -> 0 = (a^h a^p - a^p)/(h)

= l i m_h -> 0 (a^p (a^h - 1))/(h)

Como a^p é uma constantes, podemos tirá-la do limite,

= a^p l i m_h -> 0 (a^h - 1)/(h)

Agora vamos resolver esse limite!

Passo 3

Como

l i m_h -> 0 (a^h - 1)/(h) = l n a

por L’hopital.

Temos que:

l i m_h -> 0 a^p (a^h - 1)/(h) = a^p l n a

Assim

f^' (p) = a^p l n a ,

logo, como p pode ser qualquer real, provamos que

f^' (x) = a^x l n a .

Resposta

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