Seja f(x) = a^x , em a > 0 e a a != 1 é um real dado. Mostre que f'(x) = a^x ln a .

Passo 1

Oi, galerinha! Nesse problema temos que demonstrar uma derivada de

f x = a x

e vamos fazer isso usando a definição de derivada.

Para quem não lembra, temos que para qualquer p real a derivada de f em p é:

f ' p = f x - f p x - p   = a x - a p x - p  

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Primeiro, vamos tomar h = x - p de modo que, quando x tende a p , h tende a zero. Olha só

l i m x → p a x - a p x - p   = l i m h → 0 a h + p - a p h  

Agora vamos ajeitar,

l i m h → 0 = a h a p - a p h  

= l i m h → 0 a p a h - 1 h

Como a p é uma constantes, podemos tirá-la do limite,

= a p l i m h → 0 a h - 1 h  

Agora vamos resolver esse limite!

Passo 3

Como

l i m h → 0 a h - 1 h   = l n a  

por L’hopital.

Temos que:

l i m h → 0 a p a h - 1 h   = a p l n   a  

Assim

f ' p = a p l n   a   ,

logo, como p pode ser qualquer real, provamos que

f ' x = a x l n   a   .

Resposta

Desenvolvimento Acima

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados