Enunciado

Seja r a reta que é tangente ao gráfico de f x = 1 x no ponto de abscissa p . Verifique que r intercepta o eixo x no ponto de abscissa 2 p .

Passo 1

O ponto de tangência é p , f p , e como f x = 1 x o nosso ponto de tangência é p , 1 p .

O coeficiente angular da função é dado pela derivada de f em p , e temos que:

f x = 1 x = x - 1

Assim:

f ' x = - 1 x - 1 - 1 = - 1 x 2

Logo:

f ' p = - 1 p 2

Passo 2

A equação da reta então, é dada por:

y = - 1 p 2 ⋅ x + b

Se p , 1 p , satisfaz a equação da reta:

1 p = - 1 p 2 ⋅ p + b

b = 2 p

Passo 3

Então, r é dada pela equação y = - 1 p 2 ⋅ x + 2 p

A reta intercepta o eixo x quando y = 0 , então:

- 1 p 2 ⋅ x + 2 p = 0

1 p 2 ⋅ x = 2 p

x = 2 p 2 p = 2 p

x = 2 p

Assim, verificamos que r intercepta o eixo x no ponto de abscissa 2 p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = 1 x no ponto de abscissa 2 . Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
Seja f x = x 5 . Calcule.a) f ' x b) f ' 1 c) f ' - 32
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