Enunciado

Seja I n = ∫ 0 π 2 sen n ⁡ x d x .

  1. Mostre que I 2 n + 2 ≤ I 2 n + 1 ≤ I 2 n .
  2. Use o Exercício 46 para mostrar que
  3. I 2 n + 2 I 2 n = 2 n + 1 2 n + 2

  4. Utilize as partes (a) e (b) para mostrar que
  5. 2 n + 1 2 n + 2 ≤ I 2 n + 2 I 2 n ≤ 1

    e deduza que lim n → ∞ ⁡ I 2 n + 2 I 2 n = 1 .

  6. Use a parte (c) e os Exercícios 45 e 46 para mostrar que
  7. lim n → ∞ ⁡ 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 … 2 n 2 n - 1 2 n 2 n + 1 = π 2

    Essa fórmula geralmente é escrita como um produto infinito:

    π 2 = 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 …

    que é chamado produto de Wallis.

  8. Construímos retângulos como a seguir. Comece com um quadrado de área 1 e coloque retângulos de área   1 alternadamente ao lado ou no topo do retângulo anterior (veja a figura). Encontre o limite da relação largura/altura desses retângulos.

Passo 1

  1. Nós notamos que para 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ se n ⁡ x ≤ 1 , então
  2. se n 2 n + 2 ⁡ x ≤ s e n 2 n + 1 ≤ s e n 2 n

    Assim, pela segunda propriedade de comparação da integral,

    I 2 n + 2 ≤ I 2 n + 1 ≤ I 2 n

    Passo 2

  3. Substituindo diretamente no resultado do Exercício 46, nós temos que
  4. I 2 n + 2 I 2 n = 1 * 3 * 5 * … * [ 2 n + 1 - 1 ] 2 * 4 * 6 * … * [ 2 ( n + 1 ) π 2 1 * 3 * 5 * … * ( 2 n - 1 ) 2 * 4 * 6 * … * ( 2 n ) π 2 = 2 n + 1 - 1 2 n + 1 = 2 n + 1 2 n + 2

    Passo 3

  5. Nós dividimos o resultado da parte (a) por I 2 n . As inequações são preservadas desde que I 2 n seja positivo:
  6. I 2 n + 2 I 2 n ≤ I 2 n + 1 I 2 n ≤ I 2 n I 2 n

    Agora, pela parte (b), o termo esquerdo é igual a 2 n + 1 2 n + 2 , então a expressão se torna

    2 n + 1 2 n + 2 ≤ I 2 n + 1 I 2 n ≤ 1

    Agora, fazemos

    lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 = 1

    Então, pelo Teorema de Squeeze, lim n → ∞ ⁡ I 2 n + 1 I 2 n = 1 .

    Parte 4

  7. Nós substituímos os resultados dos Exercícios 46 e 47 no resultado da parte (c) e obtemos o seguinte:
  8. 1 = lim n → ∞ ⁡ I 2 n + 1 I 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 * 3 * 5 * … * 2 n + 1 - 1 2 * 4 * 6 * … * [ 2 ( n + 1 ) π 2 1 * 3 * 5 * … * 2 n - 1 2 * 4 * 6 * … * 2 n π 2 =

    lim n → ∞ ⁡ 2 * 4 * 6 * … * 2 n 3 * 5 * 7 * … * 2 n + 1 2 * 4 * 6 * … * 2 n 1 * 3 * 5 * … * 2 n - 1 2 π =

    lim n → ∞ ⁡ 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 … 2 n 2 n - 1 2 n 2 n + 1 2 π

    Multiplicando os dois lados por π 2 , nos dá o produto de Wallis:

    π 2 = 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 …

    Parte 5

  9. A área do k - é s i m o retângulo é k . No 2 n - é s i m o passo, a área cresce de ( 2 n - 1 ) para 2 n multiplicando a largura por 2 n 2 n - 1 , e o 2 n + 1 - é s i m o passo, a área é acrescida de 2 n para 2 n + 1 multiplicando a altura por 2 n + 1 2 n . Esses dois passos multiplicam a proporção entre altura e largura por 2 n 2 n - 1 e 1 2 n + 1 2 n = 2 n 2 n + 1 respectivamente. Então, pela parte (d), a relação limitante é

2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 … = π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.