Enunciado

Se   f   for a função considerada no Exemplo 3, use um sistema de computação algébrica para calcular   f ' e então faça seu gráfico para confirmar que todos os valores máximos e mínimos são como dados no exemplo. Calcule f ' ' e use-a para estimar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

A função que temos no Exemplo 3 é

f x = x 2 x + 1 3 x - 2 2 x - 4 4

Como o enunciado nos pede f ' e f ' ' , então usaremos um sistema de computação algébrica pra resolver esse monstrinho, então chegamos no seguinte resultado:

f ' x = x x + 1 2 x 3 + 18 x 2 - 44 x - 16 x - 2 3 x - 4 5

f ' ' x = 2 x + 1 x 6 + 36 x 5 + 6 x 4 - 628 x 3 + 684 x 2 + 672 x + 64 x - 2 4 x - 4 6

Passo 2

Simulando diferentes intervalos pra f ' , a gente consegue ter uma boa ideia de qual é a melhor visão, então temos as seguintes janelas:

Pelos gráficos de f ' , a gente pode ver que os pontos críticos estão em x ≈ - 20 ,   - 0.3 e 2.5 como é estimado no Exemplo 3. A gente consegue saber isso olhando os lugares que a derivada troca o sinal! Existe outro ponto crítico em x = - 1 , mas o sinal de f ' não muda lá.

Passo 3

Agora simulando com diferentes intervalos pra f ' ' , a gente tem as seguintes janelas:

Por esses gráficos conseguimos visualizar que f ' ' é côncava para cima em - 35.3 , - 5 ,     - 1 ,   0.5 ,   - 0.1 ,   2 ,   2,4 , e ( 4 , ∞ ) , e côncava para baixo em - ∞ , - 35.3 ,   ( - 5 ,   - 1 ) e ( - 0.5 ,   - 0.1 ) .

Novamente, a gente acha esses intervalos olhando onde f ' ' é positiva ou negativa. Nos intervalos do gráfico em que ela é positiva, f é côncava para cima, e onde f ' ' é negativa, f é côncava para baixo.

Agora falta achar os pontos de inflexão. Olhando os gráficos de f ' ' , nós já vemos os pontos em x em que a função troca o sinal, que caracteriza pontos de inflexão, então substituindo esses valores de x em f ( x ) , achamos as coordenadas y . Então, os pontos são aproximadamente - 35.3 ,   - 0.015 ,   - 5 ,   - 0.005 ,   - 1,0 ,   - 0.5 ,   0.00001 , e ( - 0.1 ,     0.0000066 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em