Enunciado

Seja a sequência de termo geral a n , com a n > 0 para todo natural n . Sabe-se que lim n → + ∞ ⁡ a n = a , a real, e que a n + 1 = 1 1 + a n para todo n . Calcule a .

Passo 1

Se temos que lim n → + ∞ ⁡ a n = a , consequentemente lim n → + ∞ ⁡ a n + 1 = a .

Como temos que

a n + 1 = 1 1 + a n

Então:

lim n → + ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → + ∞ ⁡ 1 1 + a n

a = 1 1 + a

Passo 2

Resolvendo a equação:

a 1 + a = 1

a 2 + a = 1

a 2 + a - 1 = 0

a = - 1 ± 1 + 4 2

a = - 1 ± 5 2

Como a n > 0 para todo natural n , temos que que a > 0

Logo:

a = - 1 + 5 2

Resposta

a = - 1 + 5 2

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