Enunciado

Seja f x = x           s e   x ∈ Q - x       s e   x ∉ Q

a) Calcule lim x → 0 ⁡ f x .

b) Mostre que, para todo p ≠ 0 , lim x → p ⁡ f x não existe.

Passo 1

a) Temos que - x ≤ f x ≤ x

Como:

lim x → 0 ⁡ - x = 0

E

lim x → 0 ⁡ x = 0

Pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

Logo:

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Passo 2

b) Pela conservação do sinal, quando pegamos um f x > 0 , onde existe um δ > 0 , temos que p - δ < x < p + δ

Mas no intervalo p - δ , p + δ existem infinitos irracionais, e nesses pontos f x = - x . Portanto, o valor de f não é o mesmo para a vizinhança de p e ela não é contínua nesse ponto.

Resposta

a)

lim x → 0 ⁡ f x = 0

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