Enunciado

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Seja D um sólido esférico de raio r. A temperatura em cada um de seus pontos é proporcional à distância do ponto até a superfície da esfera.

  1. Determinar as superfícies isotermas do campo de temperatura em D, isto é determinar as superfícies em que a temperatura é constante.

Passo 1

Vamos terminar esta questão fazendo a letra (b).

Na letra (a) achamos a seguinte equação:

T = k ( r - x 2 + y 2 + z 2 )

Se já sabemos disso, e sabendo que na letra b nós temos a temperatura constante, vamos supor que ela seja igual a k 1 :

T = k 1

Igualando à equação do Passo 1:

k 1 = k ( r - x 2 + y 2 + z 2 )

Abrindo a equação:

k 1 = k r - k x 2 + y 2 + z 2

k x 2 + y 2 + z 2 = k r - k 1

x 2 + y 2 + z 2 = k r - k 1 k

Agora vamos elevar ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:

x 2 + y 2 + z 2 = k r - k 1 k 2

x 2 + y 2 + z 2 = r - k 1 k 2

Lembrando da fórmula esférica:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Teremos então uma superfície esférica de raio r - k 1 k , com centro na origem !

Gostaram desta ?!

Resposta

r - k 1 k

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