Enunciado

Seja S a superficie definida por z = 2 + x 2 + y 2 .

Identifique a interseção de S com o plano z = k , quando k < 2 , k = 2 e k > 2 .

Passo 1

Bom galera, vamos começar observando que a equação da superfície trata-se da equação de um cone, a equação genérica é:

z = a + x 2 + y 2

Onde a é o ponto inicial do cone que cresce no sentido positivo do eixo z .

Passo 2

Belezinha, como temos a equação:

z = 2 + x 2 + y 2

A gente tem:

a = 2

Passo 3

Portanto, para um plano z < 2 não temos ponto nenhum passando pelo plano, já no plano z = 2 temos um ponto que é o incial do cone ( 0,0 , 2 ) , enquanto que em um plano z > 2 temos circunferências de raio k - 2 e centro ( 0,0 , k ) .

Resposta

k < 2 → ∅

k = 2 → 0,0 , 2

k > 2 → C i r c u n f e r ê n c i a s   d e   c e n t r o   0,0 , k   e   r a i o   ( k - 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dar a fronteira dos seguintes subconjuntos do R 2 . Representar graficamente. A = x , y ∈ R 2 y1 x
Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio. x 2 + y 2 + z 2 + 6 z0
Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio. x 2 + y 2 - 10
Dar a fronteira dos seguintes subconjuntos do R 2 . Representar graficamente. A = x , y ∈ R 2 4 x 2 + y 24
Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio. x 2 + y 2 - 2 y3