Enunciado

Seja S a superfície que é fronteira da caixa delimitada pelos planos x = ± 1 ,   y = ± 1 ,   z = ± 1 . Aproxime ∬ c o s ⁡ ( x + 2 y + 3 z ) d S usando uma soma de Riemann, como na Definição 1 , tomando os retalhos S y como os retângulos que são as faces da caixa S e os pontos P i j * como os centros destes retângulos.

Passo 1

A caixa é um cubo onde cada face tem área igual a 4 unidades quadradas. O centro das faces é ± 1,0 , 0 ,   0 , ± 1,0 , ( 0,0 , ± 1 ) . Para cada face, pegamos um ponto P i j * para ser o centro da face e f x , y , z = cos ⁡ ( x + 2 y + 3 z ) . Assim, pela Definição 1 da teroia

∬ f x , y , z d s ≈ ∑ i = 1 n f x i - , y i - , z i - A ( S i )

Passo 2

Vamos escrever a integral como uma soma de Riemann!

∬ f x , y , z d s = 4 f 0,0 , 1 + f 0,1 , 0 + f 1,0 , 0 + f - 1,0 , 0 + f 0 , - 1,0 + f 0,0 , - 1

Vamos avaliar os valores na tabela abaixo!

Substituindo os valores, temos:

∬ f x , y , z d s = 4 - 0,9899925 - 0,41614684 + 0,54030231 + 0,54030231 - 0,41614684 - 0,9899925

∬ f x , y , z d s = - 6,93

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = - 6,93

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Dada a equação vetorial ru , v = u cos ⁡ v ,us e nv , u ² ² b) fazer esboço e indicar o significado geométrico dos parâmetros u e vc) determinar a área da parte da superfície que esta entre os planos
Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-seUma parametrização para S .
Calcule a área das seguintes superfíciesb) Superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .
Considere γ o arco da parábola z = 3 - y 2 no plano y z compreendido entre as semi-retas z = z = 2 y e z = 11 2 y , com y ≥ 0 . Seja S a superfície obtida girando-se γ em torno do eixo z . Pede-se:b)
Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-seb) A área da porção de S compreendida entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .