Enunciado

11) Seja γ (t) = (x (t), y (t)) e suponha que, para todo t ≥ 0,

x ˙ t =   - y t - x 3 t

y ˙ t = x t - y 3 t

Prove que γ (t) tende a (0, 0) quando t   →   +   ∞ . (Sugestão: Utilize o exercícioanterior.)  

Passo 1

Estamos trabalhando com as mesmas regras do exercício 10. Então valem que as equações abaixo

V x , y = x 2 + y 2

g   ( t )   =   V   ( γ   ( t ) )

g ' x = V '   γ   t ⋅ γ ' t

γ ' t = F γ t

    ∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0

lim t → ∞ ⁡ γ   t = ( 0,0 )  

Que são as conclusões que obtivemos do exercício anterior

Passo 2

Temos que

γ ' t = F γ t

F γ t = - y - x 3 ,   x - y 3

Vamos usar

    ∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0

Para resolver nosso problema

2 x , 2 y - y - x 3 ,   x - y 3 < 0

- 2   x 4 + y 4 < 0

E pelo exercício 10.e) sabemos que

lim t → ∞ ⁡ x 2   γ   t   = 0

E

lim t → ∞ ⁡   y 2   ( γ   ( t ) )   = 0

Logo podemos concluir que essa relação tende a zero

lim t → ∞ ⁡   - 2   x 4 + y 4 = 0

E isso so é possivel se

lim t → ∞ ⁡   ( γ   ( t ) )   = 0,0

Assim

- 2   x 4 + y 4 = 0 + 0 = 0

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t d
5) Seja F=∇φ , onde φ( x ,y )=y-x 2 . Desenhe F(x, y) com (x, y)na parábola y=x 2
6 ) Seja F =∇f , onde f( x ,yz )=x 2+y 2+z 2 . Desenhe F(x, y, z),com x 2+y 2+z 2=1 ,x0 ,y0ez0 .
10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t P
4 ) Seja F=∇f , onde f (x, y) = x + 2y. Desenhe F(x, y), com (x, y)na reta x + 2y = 1.