Enunciado

Seja:

g (t) = {[[(2 + 3 t)/(5 t^2 + 6) , t < 1.000.000],[(sqrt(36 t^2 - 100))/(5 - t) , t > 1.000.000]])

Encontre:

b) underset(t -> + oo)(lim) g ( t )

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos o limite temos que entender a função que nos foi dada, ok? A função g (t) que nos foi dada possui condições de uso, mas o que seria isso? Para t < 1.000.000 a função se comporta de uma maneira e para t > 1.000.000 a função se comporta de outra, então a função que vamos utilizar dependerá do limite que queremos calcular, beleza? Queremos encontrar:

underset(t -> + oo)(lim) g ( t )

Note que se trata de um valor de t > 1.000.000 , certo? Sendo assim, teremos que utilizar a função:

g (t) = (sqrt(36 t^2 - 100))/(5 - t)

Agora sim podemos resolver o limite, bora lá!

Passo 2

Substituindo g (t) , teremos o seguinte limite:

underset(t -> + oo)(lim) (sqrt(36 t^2 - 100))/(5 - t)

Se dividirmos todos os membros por t , teremos:

underset(t -> + oo)(lim) ((sqrt(36 t^2 - 100))/(sqrt(t^2)))/((5)/(t) - (t)/(t))

Note que para levar o t para dentro da raíz nós dividimos por sqrt(t^2) , que é a mesma coisa, tudo bem? Simplificando, teremos:

underset(t -> + oo)(lim) (sqrt(36 - (100)/(t^2)))/((5)/(t) - 1)

Por fim, aplicando o limite, teremos:

underset(t -> + oo)(lim) (sqrt(36 - (100)/(t^2)))/((5)/(t) - 1) = (sqrt(36 - 0))/(- 1) = - 6

:. underset(t -> + oo)(lim) g ( t ) = - 6

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

underset(t -> + oo)(lim) g ( t ) = - 6

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