Seja y = x \* e^(2x) . Verifique que d^2y/dx^2 - 4 \* dy/dx + 4y = 0 .

Passo 1

Derivamos y em relação a x utilizando primeiramente a regra do produto:

d y d x = x e 2 x '

d y d x = x ' e 2 x + x e 2 x '

E agora a regra da cadeia para calcular e 2 x ' :

d y d x = 1 e 2 x + x e 2 x 2 x '

d y d x = e 2 x + x e 2 x 2

d y d x = e 2 x + 2 x e 2 x

Passo 2

Agora derivamos novamente, para determinar a derivada de 2 ª ordem:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = e 2 x + 2 x e 2 x '

d 2 y d x 2 = e 2 x ' + 2 x e 2 x '

Calculamos e 2 x ' com a regra da cadeia, e já obtivemos no passo anterior a derivada x e 2 x ' = y ' :

d 2 y d x 2 = e 2 x 2 x ' + 2 d y d x

d 2 y d x 2 = e 2 x 2 + 2 e 2 x + 2 x e 2 x

d 2 y d x 2 = 4 e 2 x + 4 x e 2 x

Passo 3

Só nos resta substituir y e suas derivadas na equação que queremos verificar:

d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0

4 e 2 x + 4 x e 2 x - 4 e 2 x + 2 x e 2 x + 4 x e 2 x = 0

0 = 0

Logo, y = x e 2 x satisfaz a equação dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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