Seja y = raiz(x^2 + 1) . Verifique que

(dy/dx)^2 + y(d^2y/dx^2) = 1

Passo 1

Derivamos y em relação a x , usando a regra da cadeia:

d y d x = x 2 + 1 1 / 2 '

d y d x = 1 2 x 2 + 1 - 1 / 2 x 2 + 1 '

d y d x = 1 2 x 2 + 1 - 1 / 2 2 x + 0

d y d x = x x 2 + 1

Passo 2

Usando a regra do quociente, obtemos a derivada de 2 ª ordem:

d 2 y d x 2 = x x 2 + 1 '

d 2 y d x 2 = x ' x 2 + 1 - x x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

d 2 y d x 2 = 1 x 2 + 1 - x x 2 + 1 ' x 2 + 1

Agora note que x 2 + 1 ' = y ' = d y d x :

d 2 y d x 2 = x 2 + 1 - x x x 2 + 1 x 2 + 1

Passo 3

Agora só resta substituir y e suas derivadas no lado esquerdo da equação do enunciado para chegar a 1 , verificando que a equação é verdadeira:

d y d x 2 + y d 2 y d x 2 = x x 2 + 1 2 + x 2 + 1 x 2 + 1 - x x x 2 + 1 x 2 + 1

= x 2 x 2 + 1 2 + x 2 + 1 2 - x 2 + 1 x 2 x 2 + 1 x 2 + 1

= x 2 x 2 + 1 + x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1

= x 2 + 1 x 2 + 1

= 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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