Enunciado

Seja f   :   ] - r ,   r [   → R uma função derivável. Prove

a) Se f for uma função ímpar, então f ' será par.

b) Se f for função par, então f ' será ímpar.

Passo 1

Pra resolver essa questão, temos que lembrar que uma função f é ímpar quando:

f x = - f - x

E também que a função f é par quando:

f x = f - x

Passo 2

a) Pra essa letra, como consideramos f uma função impar, então f x = - f ( - x ) e usando uma g x = - x , podemos encontrar a derivada f ' ( x ) por regra da cadeia. Então a derivada da função vai ser a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro:

f ' x = - f ' - x - x '

f ' x = - f ' - x - 1

f ' x = f ' - x

Opa, encontramos uma função com a simetria f x = f ( - x ) , e isso é característica de uma função par!!

Ou seja, a derivada f ' será par, como queríamos demonstrar!

Passo 3

b) Pra resolver essa letra vamos fazer a mesma coisa, mas considerando f uma função par

f x = f ( - x ) e usando uma g x = - x . Vamos usar a regra da cadeia para derivar f ( x ) então:

f ' x = f ' - x - x '

f ' x = f ' - x - 1

f ' x = - f ' - x

Opa, chegamos em uma função que tem a simetria f x = - f ( - x ) , que é a característica de uma função ímpar não é?

Ou seja, a derivada f ' será ímpar, como queríamos demonstrar!

Resposta

  1. f ' é par
  2. f ' é ímpar
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