Seja y = (x + 1) / (x - 1) . Verifique que

(1 - x) (d^2y/dx^2) = 2 (dy/dx)

Passo 1

Derivamos y em relação a x , usando a regra do quociente:

d y d x = x + 1 x - 1 '

d y d x = x + 1 ' x - 1 - x + 1 x - 1 ' x - 1 2

d y d x = 1 x - 1 - ( x + 1 ) ( 1 ) x - 1 2

d y d x = - 2 x - 1 2

Passo 2

Calculamos a derivada de 2 ª ordem usando a regra da cadeia:

d 2 y d x 2 = d d x - 2 1 x - 1 2

d 2 y d x 2 = - 2 x - 1 - 2 '

d 2 y d x 2 = - 2 - 2 x - 1 - 3 x - 1 '

d 2 y d x 2 = - 2 - 2 x - 1 - 3 1

d 2 y d x 2 = 4 x - 1 3

Passo 3

Agora vamos substituir y e sua segunda derivada no primeiro membro da equação que queremos verificar:

1 - x d 2 y d x 2 = 1 - x 4 x - 1 3 = - x - 1 4 x - 1 3 = - 4 x - 1 2

Por último, substituímos a primeira derivada de y no segundo membro da mesma equação:

2 d y d x = 2 - 2 x - 1 2 = - 4 x - 1 2

Como os dois membros da equação são iguais, ela se verifica:

1 - x d 2 y d x 2 = 2 d y d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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