Usando a função f do exercício 67, calcule

(d/dx)[f(2sen(x))]|x=pi/6

Passo 1

Para calcular a derivada dada, vamos usar a regra da cadeia: se tivermos uma função do tipo f g x então:

d d x f g x = g ' x   f ' g x

Passo 2

Assim, para usar a regra da cadeia, vamos fazer g x = 2 sin ⁡ x .

d d x f 2 sin ⁡ x = g ' x   f ' g x d d x f 2 sin ⁡ x = 2 cos ⁡ x   f ' 2 sin ⁡ x

Passo 3

Fazendo x = π / 6 , temos

d d x f 2 sin ⁡ x   x = π / 6 = 2 cos ⁡ π 6   f 2 sin ⁡ π 6 d d x f 2 sin ⁡ x   x = π / 6 = 3   f 1

Passo 4

Dessa maneira, precisamos encontrar o valor de f 1 . Note que o gráfico de f para x = 1 é uma reta que passa por 0,5 e 2 ,   0 . Assim, a equação da reta será:

f x = - 5 2 x - 2 f x = - 5 2 x + 5

Dessa maneira, para x = 1 , temos

f 1 = - 5 2 + 5 = 5 2

Finalmente,

d d x f 2 sin ⁡ x   x = π / 6 = 5 3 2

Resposta

d d x f 2 sin ⁡ x   x = π / 6 = 5 3 2

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