Enunciado

Seja F : I → R n derivável em t 0 ∈ I e seja E Δ t o erro que se comete na aproximação do acréscimo “ F t 0 + Δ t - F t 0 ” por “ F ' t 0 Δ t ”. Prove que E ( Δ t ) tende a 0 → mais rapidamente que Δ t , quando Δ t tende a zero, isto é, que lim ⁡ E Δ t Δ t = 0 → . Prove, ainda, que para todo a → ≠ F ' t 0 , lim t → t 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 - a → Δ t Δ t ≠ 0 → .

Passo 1

Vamos entender o que é E ( Δ t ) . Queremos usar F ' t 0 Δ t , ou seja, a derivada no ponto t 0 multiplicado por uma variação de t como aproximação de F t 0 + Δ t - F t 0 e E ( Δ t ) é uma função dessa variação que representa o erro da aproximação, então temos

E Δ t = F t 0 + Δ t - F t 0 - F ' t 0 Δ t

Dividindo ambos os lados por Δ t

E Δ t Δ t = F t 0 + Δ t - F t 0 - F ' t 0 Δ t Δ t

Calculando o limite quando Δ t → 0

lim Δ t → 0 ⁡ E Δ t Δ t = lim Δ t → 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 - F ' t 0 Δ t Δ t

Usando a propriedade da soma dos limites

lim Δ t → 0 ⁡ E Δ t Δ t = lim Δ t → 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 Δ t - lim Δ t → 0 ⁡ F ' t 0 Δ t Δ t

Por definição, sabemos que

lim Δ t → 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 Δ t = F ' t 0

Então

lim Δ t → 0 ⁡ E Δ t Δ t = F ' t 0 - lim Δ t → 0 ⁡ F ' t 0

lim Δ t → 0 ⁡ E Δ t Δ t = F ' t 0 - lim Δ t → 0 ⁡ F ' t 0

lim Δ t → 0 ⁡ E Δ t Δ t = 0 →

Passo 2

Se pegarmos o limite que calculamos

lim Δ t → 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 - F ' t 0 Δ t Δ t

E substituirmos F ' ( t 0 ) por a →

lim Δ t → 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 - a →   Δ t Δ t

E então seguindo os mesmos procedimentos para o cálculo do limite

= lim Δ t → 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 Δ t - lim Δ t → 0 ⁡ a →   Δ t Δ t

= F ' t 0 - a →

Se a → ≠ F ' t 0 , então

F ' t 0 - a → ≠ 0

Ou ainda

lim Δ t → 0 ⁡ F t 0 + Δ t - F t 0 - a →   Δ t Δ t ≠ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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