Enunciado

Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .

Passo 1

Se tivermos dois vetores u → = u 1 , u 2 , … , u n e v → = v 1 , v 2 , … , v n e calcularmos o produto escalar entre eles

u → ⋅ v → = u 1 v 1 + u 2 v 2 … + u n v n

Para que seja 0 ,precisamos que as partes u i v i se cancelem ou que cada uma das partes u i v i = 0 ,   i = 1,2 , … , n , e para que u i v i = 0 , u i = 0 ou v i = 0 .

Se tivermos u → ⋅ v → = 0 para qualquer vetor v → , então u → está forçando esse 0 , fazendo com que u i v i = 0 , como v i pode assumir qualquer valor, podemos concluir que u i = 0 , i = 1,2 , … , n , ou seja

u → = 0,0 , … , 0 = 0 →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Defina os vetores V1 = [1; 2; 3], V2 = [3; 4; 5] e V3 = [6; 6; 7]. Defina o vetor aleatório V = randi(3, 1). Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3.
Seja A uma matriz nxn. Mostre que det(A) = 0 se, e somente se, uma de suas colunas é combinação linear das outras.
b) Defina a matriz aleatória M = randi(3, 5). Verifique se os vetores definidos pelas colunas de M são combinação linear de V1, V2 e V3. Tente explicar o resultado.
c) Verifique se V1, V2, e V3 são linearmente independentes. Se eles forem linearmente dependentes, escreva um deles como combinação linear dos outros e verifique o resultado.
Sejam a reta r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano paralelo aos vetores V 1 = ( 1 ,2 ,0 ) e V 2 = ( 1 ,0 ,1 ) passando pela origem. Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao p