Dependência Linear

Teoria Completa

Galera, esse conceito é muito importante, mas podem ficar tranquilos que é simples de entender!

Para gente saber se um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI) é só ver se algum desses vetores é combinação linear dos demais. Se for uma combinação linear, o conjunto é LD. Caso contrário, o conjunto é LI!

Tá boiando ainda? Vamos dar uma olhada em um exemplo para você entender tudinho!

Se liga nesse conjunto de vetores:

1,1 , 1,0

Será que fazendo alguma C L , conseguimos gerar o vetor nulo? Vamos tentar equacionar isso:

a 1,1 + b 1,0 = 0,0 ⇒

a , a + b , 0 = 0,0 ⇒

a + b , a = 0,0

Montando o sistema:

a + b = 0 a = 0

Podemos ver que a = 0 e por consequência b = 0 .

Logo só existe um único jeito de gerar o vetor nulo, que é a = 0 e b = 0 e essa é a solução trivial! Quando o ÚNICO jeito de gerar o vetor nulo for com todos os coeficientes iguais a zero, o conjunto é L I !

Podemos também interpretar da seguinte forma:

OBS: Repare que na equação ( I ) o 0 é o VETOR NULO, logo ele é 0 = ( 0 , … , 0 ⏟ n   v e z e s ) ∈ R n . Já na equação ( I I ) 0 é um NÚMERO REAL, logo este é 0 ∈ R . Cuidado com o abuso de notação! ;)

Tá, mas e quando não acontece isso? A gente vai chamar o conjunto de vetores de Linearmente dependente ou LD para os íntimos.

Tá, agora vamos fazer alguns exemplos.

Exemplo: O conjunto 1,1 , 1 , 0,1 , 0 é L I ou L D ?

Vamos aplicar a definição:

a 1,1 , 1 + b 0,1 , 0 = 0 ⇒

a , a + b , a = 0 ⇒

a = 0 a + b = 0 ⇒ b = 0 a = 0

Como podemos ver, utilizando a definição, sempre acaba num sistema linear ai basta resolver ele achar valores para os coeficientes. No caso, achamos que a = b = 0 , ou seja, os coeficientes são sempre 0 !! E de acordo com a definição, os vetores são L I , pois os coeficientes são todos nulos.

Exemplo: o conjunto 1,0 , 0,1 , 2,2 é L D ou L I ?

Vamos equacionar!

a 1,0 + b 0,1 + c 2,2 = 0 ⇒

a + 2 c , b + 2 c = 0

Igualando os vetores e montando o sistema:

a + 2 c = 0   ( I ) b + 2 c = 0   ( I I )

Se fizermos I - ( I I ) , temos:

a - b = 0 ⇒

a = b

Ainda não terminou, temos que substituir em alguma das outras equações para ver as relações com o coeficiente c , afinal tudo tem que estar em função de uma mesma constante. Vamos substituir na ( I I ) :

b + 2 c = 0 ⇒

a + 2 c = 0 ⇒

a = - 2 c

Tá, então achamos que:

a = b   e   a = - 2 c ∴

b = - 2 c

Que resposta confusa! O que isso quer dizer?

Isso significa que se pegarmos a = - 2 c e b = - 2 c e substituirmos em a 1,0 + b 0,1 + c 2,2 = 0 , teremos sempre o vetor nulo. Olha só:

a + 2 c , b + 2 c = 0 ⇒

- 2 c + 2 c , - 2 c + 2 c = 0 ⇒

0,0 = 0

Então, se, por exemplo, c = 1 , basta que a = b = - 2 . Assim, nossa equação ficaria:

- 2 1,0 + ( - 2 ) 0,1 + 1 2,2 = 0

Mas poderíamos multiplicar a equação por qualquer constante! Como, por exemplo, por 3:

- 6 1,0 + ( - 6 ) 0,1 + 3 2,2 = 0

Logo, temos infinitas possibilidades de gerar o vetor nulo! Isso quer dizer que o nosso conjunto é L D .

Outro jeito de pensar em dependência linear é: “Um conjunto é L D se existem infinitos coeficientes reais que GERAM O VETOR NULO”

Métodos práticos

Pô, meio complicado esse último exemplo, não? É verdade, existem jeitos mais práticos de ver se um conjunto é L I ou L D . Um deles é o fato abaixo:

Fato: Um conjunto de vetores é L D se, e somente se, algum dos seus vetores é C L dos demais.

Assim, no exemplo anterior bastava olha que:

2,2 = 2 1,0 + 2 0,1

E pronto, o conjunto é L D .

Existem dois métodos práticos que vão nos ajudar muito a verificar se um conjunto de vetores é L I ou L D .

  1. Verificar no olho qual vetor é C L dos demais. OBS: normalmente é o jeito mais rápido.
  2. Verificar os zeros nas coordenadas dos vetores.

Esses dois usam o fato que acabei de mencionar acima, pois se você já descobrir quem é C L dos demais então já podemos dizer que o conjunto é L D . Se não conseguir achar nenhum vetor assim, então o conjunto é L I .

Exemplo: O conjunto 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 1,1 , 1 é L I ou L D ?

Podemos ver que:

1,1 , 1 = 1,0 , 0 + 0,1 , 1

Então, o terceiro vetor é uma C L dos demais e o conjunto é L D .

Exemplo: O conjunto { 1,1 , 1 , ( 0,0 , 0 ) } é L D ou L I ?

Aí vai uma dica. Repara que tem o vetor nulo né? Antes de botar numa matriz e escalonar, vamos usar a definição:

a 1,1 , 1 + b 0,0 , 0 = 0 ⇒

a 1,1 , 1 = 0 ⇒

a = 0 a = 0 a = 0

Agora você vai e pensa, ahhh então todos os coeficientes são zero, logo o conjunto é L I .

Vê ali em cima, que o b multiplicou o vetor nulo, e quando a gente somou ele sumiu, MAS ISSO NÃO QUER DIZER QUE ELE É ZERO! Quer dizer que ele é qualquer coisa, então temos infinitas possibilidades para b E POR ISSO O CONJUNTO É L D !

Então sempre que tiver o vetor nulo ele será L D , porque vai sempre acontecer a mesma coisa que fizemos ali em cima.

Exemplo: O conjunto 0,500,2 , 3,0 , 100,0 , 1,0 , 0,0 , 0,0 , 0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 1 é L I ou L D ?

Caramba quantas coordenadas como vou verificar isso???

Repara só o zero nas coordenadas desses vetores. O vetor 0,500,2 , 3,0 , 100,0 possui zero na primeira, quinta e ultima coordenada. E coincidentemente os outros dois vetores possuem zero em todos as suas coordenadas exceto a primeira e a ultima, que é aonde o vetor 0,500,2 , 3,0 , 100,0 possui zeros. Logo, nenhum vetor consegue gerar o outro, pois não importa o múltiplo que você pegue o primeiro vetor só possui números, sem ser o zero, aonde os outros não tem, e o mesmo vale apara os vetores 1,0 , 0,0 , 0,0 , 0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 1 . E assim, o conjunto é L I .

Vamos dar uma olhada nos exercícios para ficar tudo show de bolinhas??

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 24 – Prob. 1.14

Determine por inspeção se é L I :

a   1,2 , 2,3 , 2,4 , 4,5

b   - 1,2 , 1 , - 3 , 3 , - 6 , - 3,9

c   1,2 , 2,1 , 3,3

d   1,2 , 3,4 , 5 , 0,0 , 0,0 , 0 , 5,4 , 3,2 , 1

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Passo 1

Letra ( a )

Como podemos ver o segundo vetor é quase o primeiro, pois se multiplicarmos o primeiro por 2 , teremos:

2 1,2 , 2,3 = 2,4 , 4,6

E como as três primeiras coordenadas ficaram iguais, caso forcemos a ultima coordenadas ser 5 , as outras três ficarão diferentes. Então, podemos afirmar que não existe um jeito de forçar o vetor ( 1,2 , 2,3 ) de ficar com as coordenadas iguais ao ( 2,4 , 4,5 ) , sendo multiplicado por um numero apenas. Logo é conjunto é L I .

Letra ( b )

Bom, se multiplicarmos o primeiro vetor por - 3 ele dá exatamente o segundo vetor e, portanto vemos que ambos são múltiplos. Logo o conjunto é L D .

Passo 2

Letra ( c )

Podemos ver que se somarmos os dois primeiros vetores desse conjunto, teremos:

1,2 + 2,1 = 3,3

Que dá exatamente o terceiro vetor e, portanto, o conjunto é L D .

Letra ( d )

Opa, viu o vetor nulo, não precisa nem pensar! Já sabe que o conjunto é L D !

Resposta

a   Sim

b   Não

c   Não

d   Não

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 95 – Ex. 51

Determinar o valor de k para que seja L I o conjunto abaixo:

{ - 1,0 , 2 , 1,1 , 1 , k , - 2,0 }

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Passo 1

Para que o conjunto seja, L I devemos fazer a C L :

a - 1,0 , 2 + b 1,1 , 1 + c k , - 2,0 = 0

E achar que a = b = c = 0 .

- a + b + c k = 0 ⇒ b 2 + b + b 2 k = 0 ⇒ b + 2 b + b k = 0 ⇒ 3 b + b k = 0 ⇒ b 3 + k = 0 b - 2 c = 0 ⇒ c = b 2 2 a + b = 0 ⇒ a = - b 2

Como podemos ver acabamos chegando em b 3 + k = 0 . E isso é igual a zero quando:

b = 0   o u   k = - 3

Se b = 0 , então por consequência a = c = 0 , já que estes estão em função de b . E sendo assim, como a = b = c = 0 , o conjunto seria L I , independente do valor de k ! De outro modo, b poderia assumir qualquer valor, pois k = - 3 seria responsável por zerar o produto mostrado.

Assim, podemos concluir que o conjunto é L I para k ≠ - 3

Resposta

k ≠ - 3

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine se os conjuntos abaixo são L I   ou LD:

a   1 ,   0 ,   3 ,   2 , 2 ,   1 ,   4 ,   3

b   2 ,   0   ,   - 8 , - 3 ,   1 ,   2 ,   ( 2 ,   - 1 ,   2 )

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Passo 1

Letra ( a )

Antes de sair montando vários sistemas loucamente, vamos dar uma olhada nos nossos vetores!

Reparem que a segunda coordenada do vetor (1, 0, 3, 2) é zero, ou seja, a única forma desses dois vetores serem uma combinação linear do vetor nulo, é se o coeficiente que multiplica o segundo vetor for zero também! Olha só:

(1, 0, 3, 2)a + (2, 1, 4, 3)b = (0, 0, 0, 0)

A equação das segundas coordenadas seria,

0a + 1b = 0 b = 0

Se substituirmos isso em outra equação, por exemplo

1a + 2b = 0

1a = 0 a = 0

Logo, nosso conjunto de vetores é LI!

Passo 2

Letra ( b )

Nesse caso, como temos três vetores, vamos montar o sistema direitinho para gente não se confundir!

O sistema seria:

  1. 2a + (-3)b + 2c = 0
  2. 0a + 1b + (-1)c = 0
  3. (-8)a + 2b + 2c = 0

Da equação (II) tiramos que b = c ! Já temos nossa primeira relação, UHULL

Substituindo essa relação em (I),

2a – 3b + 2b = 0

2a = b

a = ½ b

Com isso, temos que a = ½ b = ½ c. Logo, qualquer número que obedecer a essa igualdade, vai fornecer o vetor nulo! Olha só:

Vamos fazer a = 1, b = c = 2 (obedece a igualdade!) e substituir em (III), por exemplo

-8 + 4 + 4 = 0

Deu zero!! Showw de bolinhas!!

Então nossos vetores são LD!

Resposta

a   LI

b   LD

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria.

Os vetores  v 1 → = ( 1 ,   0 ,   0,0 ) v 2 → = ( 0 ,   1 ,   0,0 ) ,   v 3 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 ) ,   v 4 → = ( 1 ,   2 ,   3 ,   1 ) são L I ou L D ??

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Passo 1

Belezinha, vamos começar escrevendo sistema maroto!

Ficaria assim:

( 0,0 , 0,0 ) = a v 1 → + b v 2 → + c v 3 → + d v 4 →

0 ,   0 ,   0 ,   0 = a 1 ,   0 ,   0,0 + b 0,1 ,   0,0 + c 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 + d 1 ,   2 ,   3 ,   1

Abrindo em um sistema,

0 = 1 a + 2 c + 1 d     I 0 = 1 b + - 1 c + 2 d     I I 0 = 3 c + 3 d   I I I 0 = 2 c + 1 d     ( I V )

De ( I I I ) tiramos que d = - c   ( i )

Substituindo em ( I V ) :

0 = 2 c + - c

c = 0

Logo, d = 0

Se substituirmos esses valores em ( I ) e ( I I ) , também vamos achar a = 0 e b = 0 .

Então, nossos vetores são L I !

Passo 2

Resposta

L I

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria.

Encontre o vetor w → sabendo que o conjunto ( u → ,   v → ,   w → ) é L D .

u → = 1 ,   2 ,   3 ,   v → = ( 1 ,   3 ,   1 ) e   w → = ( 1 ,   y ,   1 ) .

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Passo 1

Bom, galera vamos começar escrevendo o nosso famigerado sistema.

Ficaria assim:

( 0,0 , 0 ) = a u → + b v → + c w →

0 ,   0 ,   0 = a 1 ,   2 ,   3 + b 1,3 ,   1 + c 1 ,   y ,   1

Abrindo em um sistema,

0 = 1 a + 1 b + 1 c     ( I ) 0 = 2 a + 3 b + y c     ( I I ) 0 = 3 a + 1 b + 1 c       ( I I I )

De ( I ) tiramos que a = - b - c   ( i )

Substituindo em ( I I I ) :

0 = 3 - b - c + b + c

0 = - 3 b - 3 c + b + c

0 = - 2 b - 2 c

c = - b     ( i i )

Substituindo ( i i ) em ( i ) , temos

a = - b - - b

a = 0   ( i i i )

Por fim, substituindo ( i i i ) e ( i i ) em ( I I ) :

0 = 2 × 0 + 3 b + y - b

3 b - y b = 0

b 3 - y = 0

Como nossos vetores são L D , b ≠ 0 . Então só nos resta:

3 - y = 0

y = 3

Assim,   w → = ( 1 ,   3 ,   1 )

Resposta

w → = ( 1 ,   3 ,   1 )

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria.

Proponha um vetor do R 4 que seja L I com os vetores u → = 1 ,   1 ,   3 , 4 ,   v → = ( 1 ,   3 ,   1 , 3 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se a gente montar a equação, ficaria assim:

  ( 0,0 , 0 , 0 ) = a u → + b v → + c h →

0 ,   0 ,   0 , 0 = a 1 ,   1 ,   3 , 4 + b 1 , 3 ,   1 , 3 + c x ,   y ,   z ,   w

Abrindo em um sistema,

0 = 1 a + 1 b + x c     I 0 = 1 a + 3 b + y c     I I 0 = 3 a + 1 b + z c       I I I 0 = 4 a + 3 b + w c     I V

Bom, de cara percebemos que teremos infinitas soluções, já que possuímos 7 incógnitas para 4 equações. Mas, o problema só pediu um vetor L I , então vamos sugerir um!

Passo 2

O jeito mais fácil de resolver esse exercício é chutar valores para três coordenadas de h → e tentar achar o valor da coordenada faltante.

Então, chutando x = y = z = 1 , teremos:

0 = 1 a + 1 b + 1 c     I 0 = 1 a + 3 b + 1 c     I I 0 = 3 a + 1 b + 1 c       I I I 0 = 4 a + 3 b + w c     I V

Agora sim temos 4 incógnitas para 4 equações!

De ( I ) tiramos que a = - b - c   ( i )

Substituindo em ( I I ) :

0 = - b - c + 3 b + c

0 = 2 b

b = 0   ( i i )

Opa, achamos um b = 0 ! O que é bom, já que o problema pede um vetor L I !

Substituindo ( i i ) em ( i ) ,

a = - c   ( i i i )

Vamos substituir i i i ,   ( i i ) em ( I I I )

0 = 3 - c + 0 + c

2 c = 0

c = 0

Então, a = b = c = 0 !

Com isso, a coordenada w pode ser qualquer número!

Um vetor L I com os vetores   u → e   v → pode ser

h → = ( 1 ,   1 ,   1 ,   2 ) ou   h → = ( 1 ,   1 ,   1,3 )

Existem infinitas soluções!

Resposta

h → = ( 1 ,   1 ,   1 ,   2 ) ou   h → = ( 1 ,   1 ,   1,3 )

Existem infinitas soluções!

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