Sejam f = (xz, zy, xy) e g = (x^2, y^2, z^2) . Determinar:

∇ ⋅ g →

Passo 1

A questão nos pede pra calcular ∇ ⋅ g → . Mas o que é isso? Simples, galera: é a divergência do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial g → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo g → :

g → x ,   y ,   z = g 1 x ,   y ,   z   i → + g 2 x ,   y ,   z   j → + g 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode ser escrito como:

g → x ,   y ,   z = g 1 ,   g 2 ,   g 3

A divergência desse campo vai ser:

d i v   g → = ∂ g 1 ∂ x + ∂ g 2 ∂ y + ∂ g 3 ∂ z

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

g → = x 2 ,   y 2 ,   z 2

Então,

g 1 = x z

g 2 = z y

g 3 = x y

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ g 1 ∂ x = ∂ ( x 2 ) ∂ x = 2 x

∂ g 2 ∂ y = ∂ ( y 2 ) ∂ y = 2 y

∂ g 3 ∂ z = ∂ ( z 2 ) ∂ z = 2 z

Passo 3

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = 2 x + 2 y + 2 z

Fechou!

Resposta

d i v   f → = 2 x + 2 y + 2 z

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