Enunciado

30. Sejam υ(t) e w(t) a componente horizontal e a componente vertical, respectivamente, davelocidade de uma bola de beisebol rebatida (ou lançada). Na ausência de resistência do ar, υe w satisfazem as equações

dυ/dt = 0 dw/dt = –g.

  1. Mostre que

υ = u cos A, w = –gt + u sen A,

em que u é a velocidade escalar inicial da bola e A é o ângulo inicial de elevação.(b) Sejam x(t) e y(t), respectivamente, a coordenada horizontal e a coordenada vertical da bolano instante t. Se x(0) = 0 e y(0) = h, encontre x(t) e y(t) em qualquer instante t.(c) Sejam g = 32 pés/s2, u = 125 pés/s e h = 3 pés. Desenhe a trajetória da bola para diversosvalores do ângulo A, ou seja, faça os gráficos de x(t) e y(t) parametricamente.(d) Suponha que o muro que delimita o campo está a uma distância L e tem altura H. Encontreuma relação entre u e A que tem que ser satisfeita para que a bola passe por cima do muro.(e) Suponha que L = 350 pés e H = 10 pés. Usando a relação no item (d), encontre (ou estime apartir de um gráfico) o intervalo de valores de A que correspondem a uma velocidade escalarinicial u = 110 pés/s.(f) Para L = 350 e H = 10, encontre a velocidade inicial mínima u e o ângulo ótimocorrespondente A para o qual a bola passa por cima do muro.

Passo 1

Nos exercícios anteriores descobrimos que as equações de posição são

x = u t cos ⁡ A

y =   - 5 t 2 + u t sen ⁡ A   + 0.9

E depois descobrimos que queremos jogar a bola para fora dos muros e encontramos as seguintes equações

L ' =   u t cos ⁡ A

H ' = - 5 t 2 + u t sen ⁡ A   + 0.9  

Onde L’ e H’ são uma distância infinitesimal maior que as distancias originais, então podemos usar nossa formular de posição para resolver o problema

Passo 2

Agora temos dados de contorno

L   =   350   p é s → 107   m  

H   =   10   p é s → 3.1   m

u   =   110 p é s s → 33.6 m s

Como eu dei uma arredondada nos dados , logo já estamos dentro do intervalo que criamos antes, estar um pouco distante do muro real. Vamos usar esses dados nas equações de posição

107 =   33.6 t cos ⁡ A

3.1 = - 5 t 2 + 33.6 t sen ⁡ A   + 0.9  

Passo 3

Temos aqui um sistema de equações. Podemos isolar t e descobrir o ângulo A

107 =   33.6 t cos ⁡ A

107 33.6 ⋅ cos ⁡ A =   t

Agora vamos substituir na segunda equação

3.1 = - 5 t 2 + 33.6 t sen ⁡ A   + 0.9  

0 = - 5 t 2 + 33.6 t sen ⁡ A   - 2.2  

0 = - 5 107 33.6 ⋅ cos ⁡ A 2 + 33.6 sen ⁡ A 107 33.6 ⋅ cos ⁡ A - 2.2  

Com isso, podemos descobrir que os limites da nossa trajetória é

36 ° < x < 54 °

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

36 ° < x < 54 °

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