Enunciado

Sejam u → = a 1 , b 1 , c 1 e v → = a 2 , b 2 , c 2 dois vetores R 3 . Definimos o produto vetorial de u → por v → , que se indica u → × v → , por

u → × v → = i → j → k → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k →

Onde i → = 1,0 , 0 , j → = 0,1 , 0 e k → = 0,0 , 1 . Verifique que

u → × v → é ortogonal a u → e a v → .

Passo 1

Para provarmos que dois vetores são ortogonais, usamos o produto escalar, se for 0 é porque são ortogonais.

Então, testando u → primeiramente

u → × v → ⋅ u → = b 1 c 2 - c 1 b 2 a 1 + a 2 c 1 - a 1 c 2 b 1 + a 1 b 2 - a 2 b 1 c 1

= a 1 b 1 c 2 - a 1 c 1 b 2 + b 1 c 1 a 2 - a 1 b 1 c 2 + a 1 c 1 b 2 - b 1 c 1 a 2

Podemos ver que para cada termo positivo temos um termo negativo igual, cancelando e restando

u → × v → ⋅ u → = 0

Passo 2

Seguindo a mesma lógica para v →

u → × v → ⋅ v → = b 1 c 2 - c 1 b 2 a 2 + a 2 c 1 - a 1 c 2 b 2 + a 1 b 2 - a 2 b 1 c 2

= b 1 a 2 c 2 - c 1 a 2 b 2 + c 1 a 2 b 2 - a 1 b 2 c 2 + a 1 b 2 c 2 - b 1 a 2 c 2

Da mesma forma, todos os termos de cancelam e

u → × v → ⋅ v → = 0

E podemos concluir que u → × v → é ortogonal a u → e a v → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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