Sejam u = (a_1, b_1, c_1) e v = (a_2, b_2, c_2) dois vetores R^3 . Definimos o produto vetorial de u com uma seta acima por v-> , que se indica u x v , por

u → × v → = i → j → k → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k →

Onde i = (1.0, 0) , j = (0.1, 0) e k = (0,0, 1) . Verifique que

u x v é ortogonal a u com uma seta acima e a v-> .

Passo 1

Para provarmos que dois vetores são ortogonais, usamos o produto escalar, se for 0 é porque são ortogonais.

Então, testando u → primeiramente

u → × v → ⋅ u → = b 1 c 2 - c 1 b 2 a 1 + a 2 c 1 - a 1 c 2 b 1 + a 1 b 2 - a 2 b 1 c 1

= a 1 b 1 c 2 - a 1 c 1 b 2 + b 1 c 1 a 2 - a 1 b 1 c 2 + a 1 c 1 b 2 - b 1 c 1 a 2

Podemos ver que para cada termo positivo temos um termo negativo igual, cancelando e restando

u → × v → ⋅ u → = 0

Passo 2

Seguindo a mesma lógica para v →

u → × v → ⋅ v → = b 1 c 2 - c 1 b 2 a 2 + a 2 c 1 - a 1 c 2 b 2 + a 1 b 2 - a 2 b 1 c 2

= b 1 a 2 c 2 - c 1 a 2 b 2 + c 1 a 2 b 2 - a 1 b 2 c 2 + a 1 b 2 c 2 - b 1 a 2 c 2

Da mesma forma, todos os termos de cancelam e

u → × v → ⋅ v → = 0

E podemos concluir que u → × v → é ortogonal a u → e a v → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados