Sejam u = (a_1, b_1, c_1) e v = (a_2, b_2, c_2) dois vetores R^3 . Definimos o produto vetorial de u com uma seta acima por v-> , que se indica u x v , por

u → × v → = i → j → k → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k →

Onde i = (1.0, 0) , j = (0.1, 0) e k = (0.0, 1) . Verifique que

u→ × (v→ + w→) = u→ × v→ + u→ × w→ , onde w = (a_3, b_3, c_3)

Passo 1

Primeiramente calculamos a soma v → + w →

v → + w → = a 2 + a 3 , b 2 + b 3 , c 2 + c 3

Calculando então o produto vetorial

u → × v → + w → = b 1 c 2 + c 3 - c 1 ( b 2 + b 3 ) i → + a 2 + a 3 c 1 - a 1 c 2 + c 3 j → + a 1 b 2 + b 3 - a 2 + a 3 b 1 k →

Fazendo as distributivas

= b 1 c 2 + b 1 c 3 - c 1 b 2 - c 1 b 3 i → + a 2 c 1 + a 3 c 1 - a 1 c 2 - a 1 c 3 j → + a 1 b 2 + a 1 b 3 - a 2 b 1 - a 3 b 1 k →

Podemos então separar em dois vetores

= b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k → + b 1 c 3 - c 1 b 3 i → + a 3 c 1 - a 1 c 3 j → + a 1 b 3 - a 3 b 1 k →

E podemos observar que o primeiro vetor é u → × v → e o segundo é u → × w → , então, como iniciamos em u → × v → + w → , podemos afirmar que

u → × v → + w → = u → × v → + u → × w →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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