Enunciado

Sejam y 1   e   y 2 duas soluções para (9).

  1. Se W ( y 1 ,   y 2 ) é o Wronskiano de y 1   e   y 2 , mostre que
  2. a 2 x d W d x + a 1 x W = 0

  3. Deduza a fórmula de Abel*
  4. W = c e - ∫ a 1 x a 2 x d x

    Em que c é uma constante.

  5. Usando uma forma alternativa da fórmula de Abel
  6. W = c e - ∫ x 0 x a 1 t a 2 t d t

    Para x 0   e m   I , mostre que

    W y 1 ,   y 2 = W x 0 e - ∫ x 0 x a 1 t a 2 t   d t

  7. Mostre que, se W x 0 = 0 , então W = 0 para x em I , enquanto, se W x 0 ≠ 0 , então W ≠ 0 para todo x no intervalo.

Passo 1

Eita que aqui temos um problemão hein?

Mas vamos devagar que a gente consegue!

Vamos assumir que y 1   e   y 2 são soluções da equação a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0 .

Vamos calcular o Wronskiano e ver se a 2 x d W d x + a 1 x W = 0

Temos:

W = y 1 ( x ) y 2 ( x ) y 1 ' ( x ) y 2 ' ( x )

= y 1 ( x ) y 2 ' ( x ) - y 2 ( x ) y 1 ' ( x )

Aí a gente vai ter:

d W d x = y 1 ' y 2 ' x + y 1 x y 2 ' ' x - y 2 ' x y 1 ' x - y 2 x y 1 ' ' ( x )

= y 1 x y 2 ' ' x - y 2 x y 1 ' ' ( x )

Passo 2

Agora a gente vai substituir isso na igualdade que nos deram:

a 2 x d W d x + a 1 x W = 0

a 2 x y 1 x y 2 ' ' x - y 2 x y 1 ' ' x + a 2 y 1 x y 2 ' x - y 2 x y 1 ' x = 0

Agora a gente vai somar e subtrair a 0 y 1 y 2 :

a 2 x y 1 x y 2 ' ' x - y 2 x y 1 ' ' x + a 2 y 1 x y 2 ' x - y 2 x y 1 ' x + a 0 y 1 y 2 - a 0 y 1 y 2 : = 0

Agrupando...

y 1 x a 2 y 2 ' ' x + a 1 y 2 ' x + a 0 y 2 - y 2 x y ' ' 1 x + a 2 y 1 ' x + a 0 y 2 = 0

E como elas são solução dessa EDO aí dos colchetes, temos:

y 1 x 0 - y 2 x 0 = 0

0 - 0 = 0

0 = 0

Passo 3

b) Agora que já provamos a equação do item (a), podemos dizer que W é solução da equação:

a 2 x d W d x + a 1 x W = 0

Essa é uma EDO separável, vamos resolver:

a 2 x d W = - a 1 x W   d x

d W W = - a 1 x a 2 x d x

Integrando dos dois lados:

∫ d W W = ∫ - a 1 x a 2 x   d x

ln ⁡ W = ∫ - a 1 x a 2 x   d x + C

W = c e - ∫ a 1 x a 2 x   d x

E chegamos a fórmula que queríamos! 😉

Passo 4

c) Para x = x 0 na equação anterior, temos:

W x 0 = c e - ∫ x 0 x 0 a 1 t a 2 t d t

Se os limites de integração são iguais, a integral zera. Então temos:

W x 0 = c e 0

W x 0 = c

E aí substituindo na fórmula, temos:

W y 1 ,   y 2 = W x 0 e - ∫ x 0 x a 1 t a 2 t   d t

Passo 5

d) Pelo item anterior, vimos que:

W y 1 ,   y 2 = W x 0 e - ∫ x 0 x a 1 t a 2 t   d t

Então se W x 0 = 0 , temos:

W = 0

Do contrário, se   W x 0 ≠ 0 , então o Wronskiano também é diferente de zero 😉

E terminamos por aqui!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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