Enunciado

Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

y ' ' - 4 y = 0 ;     cosh ⁡ 2 x ,   s e n h   2 x ,     ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E elas tem que satisfazer a equação.

Vamos ver se y 1 = cosh ⁡ 2 x   satisfaz a equação:

y 1 ' = 2 s e n h   2 x

y 1 ' ' = 4 cosh ⁡ 2 x

Substituindo na EDO:

y ' ' - 4 y = 0

4 cosh ⁡ 2 x - 4 cosh ⁡ 2 x = 0

0 = 0

Então é solução!

Passo 2

Agora vamos ver se y 2 = s e n h   2 x é solução...

y 2 ' = 2 cosh ⁡ 2 x

y 2 ' ' = 4 senh ⁡ 2 x

Substituindo na EDO, temos:

y ' ' - 4 y = 0

4 senh ⁡ 2 x - 4 senh  ⁡ 2 x = 0

0 = 0

Então também é solução!

Passo 3

Agora só falta ver se as funções são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = cosh ⁡ 2 x s e n h   2 x 2 s e n h   2 x 2   c o s h   2 x

= 2 cosh 2 ⁡ 2 x - 2   s e n h 2 2 x

= 2 cosh 2 ⁡ 2 x - sen 2 ⁡ 2 x

= 2 1 = 2 ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 4

Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:

y = c 1 cosh ⁡ 2 x + c 2 s e n h   2 x

E prontinho! Terminamos por aqui 😉

Resposta

y = c 1 cosh ⁡ 2 x + c 2 s e n h   2 x

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