Enunciado

Sejam f ( x ) = 2 - x 2 e g ( x ) = x + 2 .

  1. Escreva as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f
  2. Determine o domínio de cada uma
  3. Determine a imagem de cada uma

Passo 1

E aí! Pra essa questão precisamos lembrar de funções inversas:

f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) e g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) . Bora lá?

Passo 2

  1. f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) = 2 - ( x + 2 ) 2 = 2 - ( x + 2 ) = - x → f ∘ g ( x ) = - x

Só que uma condição de existência: o que tá dentro da raiz nunca pode ser negativo. Então: x + 2 ≥ 0 → x ≥ - 2

g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) = 2 - x 2 + 2 = 4 - x 2 → g ∘ f ( x ) = 4 - x 2

A restrição daqui é pra - 2 ≤ x ≤ 2

Passo 3

(b) Domínio de f ∘ g ( x ) :

Lembra que ali em cima x ≥ - 2 ? Então, o domínio é D ( f ∘ g )   = [ - 2 , + ∞ )

Domínio de g ∘ f ( x ) :

Lembra que ali em cima - 2 ≤ x ≤ 2 ? Então, o domínio é D ( g ∘ f ) = [ - 2,2 ]

Passo 4

(c) Olha a cara da f ∘ g ( x ) :

O x ≥ - 2 (no -2, a imagem é 2, hein), então ele vai a partir do ponto vermelho até o infinito negativo (lá pra baixo). Assim, I m ( f ∘ g ) = ( - ∞ , 2 ]

E agora olha a cara da g ∘ f ( x ) :

A imagem vai de 0 até 2.

I m ( g ∘ f ) = [ 0,2 ]

Resposta

  1. f ∘ g ( x ) = - x , g ∘ f ( x ) = 4 - x 2
  2. D ( f ∘ g )   = [ - 2 , + ∞ ) ,   D ( g ∘ f ) = [ - 2,2 ]
  3. I m ( f ∘ g ) = ( - ∞ , 2 ], I m ( g ∘ f ) = [ 0,2 ]
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Sejam f x = x - 3 , g x = x , h x = x 3 e j x = 2 x . Expressa cada uma das funções como função composta envolvendo uma ou mais funções de f , g , h e j . y = x - 3 y = 2 x y = x 1 / 4 y = 4 x y = x -
Se f x = x + 5 e g x = x 2 - 3 , resolva: f g 0 g f 0 f g x g f x f f - 5 g g 2 f f x g g x
Se f x = x - 1 e g x = 1 / ( x + 1 ) , resolva: f g 1 / 2 g f 1 / 2 f g x g f x f f 2 g g 2 f f x g g x
Determine os domínios e as imagens de f , g , f / g , g / f f x = 1 g x = 1 + x
Se f x = x + 5 e g x = x 2 - 3 , resolva: f g 0 g f 0 f g x g f x f f - 5 g g 2 f f x g g x