Enunciado

Sejam f ( x ) = x e g ( x ) = 1 - x .

  1. Escreva as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f
  2. Determine o domínio de cada uma
  3. Determine a imagem de cada uma

Passo 1

E aí! Pra essa questão precisamos lembrar de funções inversas:

f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) e g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) . Bora lá?

Passo 2

  1. f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) = 1 - x = 1 - x 4 → f ∘ g ( x ) = 1 - x 4

Só que uma condição de existência: o que tá dentro da raiz de índice par nunca pode ser negativo. Então: 1 - x ≥ 0 → x ≤ 1

g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) = 1 - x → g ∘ f ( x ) = 1 - x

A restrição daqui é pra x ≠ 0 e 1 - x ≥ 0

Passo 3

(b) Domínio de f ∘ g ( x ) :

Lembra que ali em cima x ≤ 1 ? Então, o domínio é D ( f ∘ g )   = ( - ∞ , 1 ]

Domínio de g ∘ f ( x ) :

Lembra que ali em cima 1 - x ≥ 0 ? Olha só a função:

Vale 1 - x ≥ 0 onde x tá entre 0 e 1

Então, o domínio é D ( g ∘ f ) = [ 0,1 ]

Passo 4

(c) Olha a cara da f ∘ g ( x ) :

A imagem dela tá de 0 “pra cima”. Então, I m ( f ∘ g ) = [ 0 , + ∞ )

E agora olha a cara da g ∘ f ( x ) (de novo):

Como ele tá definido só de 0 até 1, a imagem vai de 0 a 1.

I m ( g ∘ f ) = [ 0,1 ]

Resposta

  1. f ∘ g ( x ) = 1 - x 4 , g ∘ f ( x ) = 1 - x
  2. D ( f ∘ g )   = ( - ∞ , 1 ] ,   D ( g ∘ f ) = [ 0,1 ]
  3. I m ( f ∘ g ) = [ 0 , + ∞ ) , I m ( g ∘ f ) = [ 0,1 ]
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