Enunciado

Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema

u = x 2 + y 2 v = x y

a) Expresse ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u em termos de x e y .

b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definida implicitamente pelo sistema.

Passo 1

A questão fornece duas funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) implicitamente por um sistema. No item (a) devemos expressar as derivadas parciais de x e y com relação a u .

Derivando as duas equações com relação a u :

1 = 2 x ∂ x ∂ u + 2 y ∂ y ∂ u

0 = y ∂ x ∂ u + x ∂ y ∂ u

Agora precisamos resolver esse sistema. Na segunda equação tiramos

∂ y ∂ u = - y x ∂ x ∂ u

Substituindo na primeira equação:

1 = 2 x ∂ x ∂ u - 2 y 2 x ∂ x ∂ u ⇒ x = 2 x 2 - 2 y 2 ∂ x ∂ u

Logo,

∂ x ∂ u = x 2   ( x 2 - y 2 ) ⇒ ∂ y ∂ u - y 2   ( x 2 - y 2 )

Passo 2

Agora vamos partir para o item (b). A questão pede para acharmos as funções x ( u , v ) e y ( u , v ) . Para isso temos que isolar x e y como função de u e v .

Da segunda equação, tiramos

y = v x

Substituindo isso na primeira equação:

u = x 2 + v x 2 = x 4 + v 2 x 2 ⇒ x 4 + v 2 = u x 2

Assim,

x 4 - u x 2 + v 2 = 0

Essa é uma equação biquadrada. Para resolvê-la, vamos fazer t = x 2 . Assim,

t 2 - u t + v 2 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação, obtemos

t = u ± u 2 - 4 v 2 2

Escolhendo o sinal positivo:

t = u + u 2 - 4 v 2 2

Assim, como x 2 = t , temos que x = ± t . Escolhendo novamente o sinal positivo:

x = u + u 2 - 4 v 2 2

Bom, já achamos x ( u , v ) , falta achar y . Lembre-se que y = v / x , de modo que

y = v 2 u + u 2 - 4 v 2

É importante mencionar que essa resposta não única!

Resposta

a) ∂ x ∂ u = x 2   ( x 2 - y 2 )     e     ∂ y ∂ u - y 2   ( x 2 - y 2 ) .

b) x = u + u 2 - 4 v 2 2     e     y = v 2 u + u 2 - 4 v 2

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Considerando que as equações nos Exercícios 25-28 definem y como uma função derivável de x , utilize o Teorema 8 para encontrar o valor de d y / d x no ponto dado. x 3 - 2 y 2 + x y = 0 , 1 ,1