Enunciado

Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema

x 2 + u y 2 = v x + y 2 = u

a) Expresse ∂ x ∂ u em termos de x , y e u .

b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definida implicitamente pelo sistema.

Passo 1

A questão fornece duas funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) implicitamente por um sistema. No item (a) devemos expressa a derivada parcial de x com relação a u .

Derivando as duas equações com relação a u :

2 x ∂ x ∂ u + y 2 + 2 u y ∂ y ∂ u = 0

∂ x ∂ u + 2 y ∂ y ∂ u = 1

Agora precisamos resolver esse sistema. Na segunda equação tiramos

2 y ∂ y ∂ u = 1 - ∂ x ∂ u

Substituindo na primeira equação:

2 x ∂ x ∂ u + y 2 + u ⋅ 1 - ∂ x ∂ u = 0

Logo,

∂ x ∂ u = u + y 2 u - 2 x

Passo 2

Agora vamos partir para o item (b). A questão pede para acharmos as funções x ( u , v ) e y ( u , v ) . Para isso temos que isolar x e y como função de u e v .

Da segunda equação, tiramos

y 2 = u - x

Substituindo isso na primeira equação:

x 2 + u   u - x = v ⇒ x 2 - u x + u 2 - v

Resolvendo essa equação de segundo grau:

x = u ± u 2 - 4 ( u 2 - v ) 2 = u ± v - 3 u 2 2

Escolhendo o sinal positivo:

x = u + v - 3 u 2 2

Passo 3

Por fim,

y 2 = u - x = u - v - 3 u 2 2

Portanto,

y = u - v - 3 u 2 2

Resposta

∂ x ∂ u = u + y 2 u - 2 x

x = u + v - 3 u 2 2     e     y = u - v - 3 u 2 2

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