Enunciado

16. Sejam f x e g x funções deriváveis até 3ª ordem. Mostrar que:

a) f g ' ' = g f ' ' + 2 f g ' + f g ' '

b) f g ' ' ' = g f ' ' ' + 2 f ' g ' + f g ' '

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

b) Realizando a primeira derivada

y ' = u ' v + u v '

f g = f g

Temos

u = f e v   = g

Para u '

u = f

u ' = f '

Para v '

v = g

v ' = g '

Aplicando na fórmula

( f g ) ' = f ' g + f g '  

Passo 3

Realizando a segunda derivada

y ' = u ' v + u v '

Aplicando na fórmula

( f g ) ' ' = f ' ' g + f ' g ' + f ' g ' + f g ' '  

( f g ) ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' '  

Passo 4

Realizando a terceira derivada

y ' = u ' v + u v '

f g ' ' ' = f ' ' ' g + f ' ' g ' + 2 f ' ' g ' + f ' g ' ' + f ' g ' ' + f g ' ' '

Realizando a multiplicação

f g ' ' ' = f ' ' ' g + f ' ' g ' + 2   f ' ' g ' + 2   f ' g ' ' + f ' g ' ' + f g ' ' '

Realizando as adições

f g ' ' ' = f ' ' ' g + 3   f ' ' g ' + 3   f ' g ' ' + f g ' ' '

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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