Sendo sen alpha = 2 / 3 , com 0 < a < pi , calcule cos(pi / 4 + α)

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a expressão que é pedida, observando que temos um cosseno da soma, ou seja: cos ⁡ π 4 + α = cos ⁡ π 4 ⋅ cos ⁡ α - s e n π 4 ⋅ s e n   α Substituindo cos ⁡ π 4 = 2 2 e s e n π 4 = 2 2 , ficaremos com:

cos ⁡ π 4 + α = 2 2 ⋅ cos ⁡ α - 2 2 ⋅ s e n   α

Passo 2

Como o s e n   α é dado no enunciado, nosso problema agora é descobrir quem é cos ⁡ α , por sorte temos a relação fundamental da trigonometria que, manipulada, nos diz que: cos ⁡ α = 1 - s e n 2   α Substituindo s e n   α = 2 3 , ficaremos assim: cos ⁡ α = 1 - 2 3 2 cos ⁡ α = 1 - 4 9 cos ⁡ α = 5 9 cos ⁡ α = 5 3

Passo 3

Agora que descobrimos cos ⁡ α , basta substituir os dados na expressão lá do passo 1 e encontraremos nossa resposta: cos ⁡ π 4 + α = 2 2 ⋅ cos ⁡ α - 2 2 ⋅ s e n   α cos ⁡ π 4 + α = 2 2 ⋅ 5 3 - 2 2 ⋅ 2 3 cos ⁡ π 4 + α = 10 6 - 2 2 6 cos ⁡ π 4 + α = 10 - 2 2 6

Resposta

cos ⁡ π 4 + α = 10 - 2 2 6

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