Sendo sen alpha = 2 / 3 , com 0 < a < pi , calcule sen(pi/2 + 2α)

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a expressão que é pedida, observando que temos um seno da soma, ou seja: s e n   π 2 + 2 α = s e n π 2 ⋅ cos ⁡ 2 α + s e n   2 α ⋅ cos ⁡ π 2

Substituindo s e n π 2 = 1 e cos ⁡ π 2 = 0 , ficaremos com: s e n   π 2 + 2 α = 1 ⋅ cos ⁡ 2 α + s e n   2 α ⋅ 0 s e n   π 2 + 2 α = cos ⁡ 2 α

Passo 2

Agora nosso problema passou a ser calcular cos ⁡ 2 α .   Por sorte, temos a fórmula do arco duplo que nos diz que: cos ⁡ 2 α = 1 - 2 ⋅ s e n 2 α Substituindo s e n   α = 2 3 , teremos: cos ⁡ 2 α = 1 - 2 ⋅ 2 3 2 cos ⁡ 2 α = 1 - 8 9 cos ⁡ 2 α = 1 9

Resposta

Ou seja: s e n   π 2 + 2 α = cos ⁡ 2 α = 1 9

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