Enunciado

Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.

91. a 1 = 2 ,   a n + 1 = 72 1   +   a n  

Passo 1

Fala, pessoal! Agora estamos entrando num novo assunto: sequências definidas recursivamente. Animados? Então, vem comigo!

Bom, o enunciado pede pra gente assumir que a sequência converge. É exatamente isso que vamos fazer, mas a gente também precisa descobrir para qual valor ela converge. Para isso, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ver se a gente encontra algum padrão ou se eles se aproximam de algum valor:

a 2 = 72 1   +   a 1 = 72 1   +   2 = 72 3 = 24

a 3 = 72 1   +   a 2 = 72 1   +   24 = 72 25 = 2,88

a 4 = 72 1   +   a 3 = 72 1   +   2,88 = 72 3,88 = 18,557

a 5 = 72 1   +   a 4 = 72 1   + 18,557 = 72 19,557 = 3,681

a 6 = 72 1   +   a 5 = 72 1   + 3,681 = 72 4,681 = 15,381

Então, até o momento, a gente pode notar que os termos ímpares começaram em a 1 = 2 e vão crescendo enquanto os pares começam em a 2 = 24 e vão decrescendo. Isso indica que talvez eles se encontrem em um ponto em comum e talvez esse seja o limite da sequência.

Passo 2

Agora, assumindo que a sequência converge para algum valor, temos que ter

l i m n → ∞ a n = L

Então, podemos tomar o limite em ambos os lados da relação recursiva:

l i m n → ∞ a n + 1 = l i m n → ∞ 72 1   +   a n = 72 1   + l i m n → ∞   a n

⇒ L = 72 1   + L

Porque l i m n → ∞ a n + 1 = L também.

Passo 3

Agora é só a gente resolver essa equação para L :

L = 72 1   + L ⇒ L 2 + L = 72

⇒ L 2 + L - 72 = 0

⇒ ( L + 9 ) ( L - 8 ) = 0

Então podemos ter L = - 9 ou L = 8 . Mas, se a gente prestar bem atenção na sequência, dá pra ver que ela não pode assumir valores negativos. Também dá pra provar isso por indução. a 1 = 2 > 0 , então, se a n > 0 , nós temos

0   < 1 < 1   +   a n

⇒ 0 < 1 1   +   a n < 1

⇒ 72 1   +   a n > 0

⇒ a n + 1 >   0

Como a sequência é sempre positiva, então o limite dela só pode ser L = 8 .

Até a próxima, galera!

Resposta

8 .

Exercícios de Livros Relacionados

Liste os primeiros nove termos da sequência cos ⁡ n π 3 Essa sequência parece ter um limite? Em caso afirmativo, encontre-o. Em caso negativo, explique por quê.
(a) O que é uma sequência?(b) O que significa dizer que lim n → ∞ ⁡ a n = 8 ?(c) O que significa dizer que lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ ?
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 3 + 5 n 2 n + n 2
Liste os primeiros seis termos da sequência definida por a n = n 2 n + 1 Esta sequência parece ter um limite? Em caso afirmativo, encontre-o.
Quais teoremas estão disponíveis para calcular limites de sequência? Dê exemplos.