Enunciado

Teoria e exemplos: O primeiro termo de uma sequência é x 1 = 1 . Cada um dos termos seguintes é a soma de todos os seus antecedentes:

x n + 1 = x 1   +   x 2   + ⋯ + x n .

Escreva os primeiros termos da sequência suficientes para deduzir uma fórmula geral para x , que seja verdadeira para n   ≥ 2 .

Passo 1

Fala, galera! Como é que vai? Beleza, então vem comigo para gente resolver essa questão juntos!

O enunciado diz que o primeiro termo de uma sequência é x 1 = 1 e os demais termos são

x n + 1 = x 1 + x 2 + ⋯ + x n .

Então, a gente tem que escrever os primeiros termos para tentar descobrir a fórmula geral da sequência.

Passo 2

Vamos lá, os primeiros elementos da sequência são:

x 2 = x 1 = 1 ,

x 3 = x 1 + x 2 = 1 + 1 = 2 ,

x 4 = x 1 + x 2 + x 3 = 1 + 1 + 2 = 4 ,

x 5 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 + 1 + 2 + 4 = 8 .

Esses termos já devem ser suficientes para a gente começar a ver um padrão. Percebeu que todos os termos são múltiplos de 2 . Pois é, é exatamente isso que vamos usar.

Passo 3

Nós vamos escrever os resultados em termos de potências de 2 para ficar bem simples de ver o padrão da sequência:

x 2 = 1 = 2 0 = 2 2 - 2 ,

x 3 = 2 = 2 1 = 2 3 - 2 ,

x 4 = 4 = 2 2 = 2 4 - 2 ,

x 5 = 8 = 2 3 = 2 5 - 2 .

Opa! Parece que temos uma fórmula geral:

x n = 2 n - 2 ,   n ≥ 2 .

Resposta

x n = 2 n - 2 ,   n ≥ 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

(a) O que é uma sequência convergente? Dê dois exemplos.(b) O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 3 n 3 + 1
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = - 1 n - 1n n 2 + 1