Enunciado

O que é uma série infinita? O que significa a convergência dessa série? E a divergência? Dê exemplos.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos lembrar primeiro da definição para uma sequência infinita e o que significa para uma sequência infinita convergir:

Uma sequência infinita de números é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. Por exemplo, uma sequência denotada por { a n } , onde a n designa o enésimo termo para qualquer n ∈ Z + , são elementos de um conjunto e cada elemento é chamado de termo. Por definição, uma sequência infinita de números converge se e somente se lim n → ∞ ⁡ a n   existe.

Observe que a convergência de uma sequência é diferente da convergência de uma série (a soma de uma sequência).

Uma série infinita é a soma dos termos dessa sequência infinita. Geralmente representamos isso por notação de somatório:

a 1 + a 2 + a 3 + … =   ∑ n = 1 ∞ a n

onde n=1 é o índice inicial e n é a variável do índice. A variável de índice n conta desde o índice inicial n=1 até seu limite superior, que neste caso é infinito. Esta notação significa que estamos encontrando a soma de todos os termos de a 1 até a ∞ .

Passo 2

Agora, vamos considerar que seja S a soma dessa série:

S =   ∑ n = 1 ∞ a n

Uma série infinita é dita convergente se esta soma S converge para um número real. Ou seja,

∑ n = 1 ∞ a n   ∈ R

e diverge caso contrário (é infinito ou não se aproxima de um número real).

Um exemplo de série convergente é:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n

que é uma série geométrica com razão r = 1 2 < 1 .

E um exemplo de série divergente é:

∑ n = 1 ∞ 1 n

que é uma p-série geométrica com p = 1 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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