Enunciado

O que é a série de Taylor gerada por uma função f (x) em um ponto x = a? Quais informações você precisa saber sobre f para construir a série? Dê um exemplo.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Suponha que f ( x ) tenha   h derivadas de todas as ordens ao longo de algum intervalo contendo a como ponto interior. Então a Série de Taylor de f ( x ) em um ponto x   =   a é dada por:

∑ n = 0 ∞ f n a x - a n n !   = f a + f ' a ( x - a ) 1 ! + f ' ' a x - a 2 2 ! + …

Se f ( x ) tem derivadas de todas as ordens no ponto x = a então podemos construir a série de Taylor da função f ( x ) no ponto x = a .

Exemplo – Vamos considerar f x = e x sobre x = 0 . Temos que

f ( n ) x = e x                                 n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …  

e ainda,

f ( n ) 0 = e 0 = 1                                 n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …  

Portanto, a série de Taylor para f x = e x sobre x = 0 é:

∑ n = 0 ∞ x n n !  

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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