Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 2 n + 3 n 3 n + 4 n

Passo 1

Fala gente tudo bem? Nesse exercício ele quer que apliquemos um método de comparação para descobrir se a série diverge ou converge, então bora.

Vamos comparar a partir do teste do limite com a série convergente ∑ n = 1 ∞ 3 4 n :

2 n + 3 n 3 n + 4 n 3 4 n   = 4 n ( 2 n + 3 n ) 3 n ( 3 n + 4 n )  

Vamos distribuir:

4 n 2 n + 3 n 3 n 3 n + 4 n   = 8 n + 12 n 9 n + 12 n  

Agora temos que dividir tudo por 1 2 n :

8 n + 12 n 9 n + 12 n   ⋅ 1 12 n 1 12 n = 8 12 n + 1 9 12 n + 1  

Como as frações elevados a n são números entre 0 e 1 que não os contém, ao tomar n como infinito, os números serão infinitamente pequenos e podem ser desconsiderados

2 3 n + 1 3 4 n + 1   = 1 1 = 1

Portanto, a série converge pois o limite é 1.

Vamos continuar!

Resposta

Converge