Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 1 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2

Passo 1

Fala gente tudo bem? Nesse exercício ele que que apliquemos um método de comparação para descobrir se a série diverge ou converge, então bora que é o últimoooooooooooo!!!

Vamos começar reescrevendo essa sequência que é a clássica soma dos quadrados dos naturais, uma prova bastante longa que não nos interessa de fato nessa matéria, aconselho a procurar a prova caso queira saber mais!

∑ n = 1 ∞ 1 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1 ( 2 n + 1 ) 6 = ∑ n = 1 ∞ 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Passo 2

Agora sim iremos aplicar nosso teste.

Vamos fazer o teste da comparação direta com o enésimo termo da sequência:

6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ≤ 6 n 3

Como o enésimo termo é uma série-p convergente, então a série enunciada também é convergente

E terminamos essa enorme sequência de exercícios, bora trocar porque já está muito bom!

Vem comigo.

Resposta

Convergente

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Se ∑ n = 1 ∞ a n é uma série convergente de números não negativos, algo pode ser dito sobre ∑ n = 1 ∞ a n / n ? Explique.
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Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas. ∑ n = 3 ∞ 5 n 3 - 3 n n 2 ( n - 2 ) ( n 2 + 5 )