Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ c o t g h   n n 2

Passo 1

Fala gente tudo bem? Nesse exercício ele quer que apliquemos um método de comparação para descobrir se a série diverge ou converge, então bora.

Vamos fazer o teste da comparação limite com a série convergente 1 / n 2 :

c o t g h   n n 2   1 / n 2   = l i m n → ∞ = c o t g h   n

Revisitando alguns conceitos da trigonometria, podemos reescrever a cotangente hiperbólica como cosseno hiperbólico dividido por seno hiperbólico, e abri-los em suas funções:

l i m n → ∞ c o s h c o s h   n   s e n h   x = l i m n → ∞ e n + e - n e n - e - n  

Agora vamos dividir todos os termos por e n :

l i m n → ∞ e n e n + e - n e n e n e n - e - n e n = l i m n → ∞ 1 + e - 2 n 1 - e - 2 n

Os números estão elevados a potências negativas, portanto, os resultados ao substituir n por infinito serão infinitamente pequenos e podem ser descartados:

l i m n → ∞ 1 + e - 2 ⋅ ∞ 1 - e - 2 ⋅ ∞ = 1 1 = 1

Portanto, a série é convergente

Bora que bora.

Resposta

Convergente

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