Enunciado

O significado da representação decimal de um número 0 , d 1 d 2 d 3 … (onde o algarismo d i é um dos números 0 ,   1 ,   2 , … ,   9 ) é que

0 , d 1 d 2 d 3 … = d 1 10 + d 2 10 2 + d 3 10 3 + d 4 10 4 + …

Mostre que essa série converge.

Passo 1

Hey, galera! Tudo bem por aí?

Temos um número qualquer, que está representado em forma de série

0 , d 1 d 2 d 3 … = ∑ n = 1 ∞ d n 10 n

Para provar a convergência desta série, vamos compará-la. Para achar a comparação correta, vamos pensar o seguinte, d n é um dos números 0 ,   1 ,   2 , … ,   9 , então podemos afirmar que d n ≤ 9 sempre, logo

d n 10 n ≤ 9 10 n

Agora é aplicar o Teste da comparação. Veremos que b n = 9 10 n será uma série geométrica que convergirá, então vamos precisar mostrar que:

  1. Se b n for convergente e a n ≤ b n para todo n , então ∑ a n também será convergente.

Em resumo: sabemos que b n converge, então vamos mostrar que nosso a n = d n 10 n é menor que os termos de b n , pois assim, pelo Teste da Comparação, a n também vai convergir.

Vamos em frente, etapa por etapa!

Passo 2

Agora basta provar a convergência de

∑ n = 1 ∞ 9 10 n

Essa é uma série geométrica, para ela ter a cara correta de uma geométrica basta manipular

∑ n = 1 ∞ 9 10 n = ∑ n = 1 ∞ 9 10 ⋅ 1 10 n - 1

Então temos uma série geométrica com a = 9 / 10 e razão r = 1 / 10 . Como | r | < 1 , a série converge e:

d n 10 n ≤ 9 10 n

Então:

a n ≤ b n

Logo, pelo teste da comparação:

∑ n = 1 ∞ d n 10 n

Também converge.

Resposta

Série convergente.

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