Enunciado

Escreva a integral tripla de uma função contínua e arbitrária f ( x , y , z ) em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Aqui temos um pedaço de um cilindro, então a descrição mais adequada (fácil kkk) é utilizando as coordenadas cilíndricas. Sendo assim devemos determinar os limites de z ,   θ   e   r .

Como podemos ver da figura, tanto em x quanto em y o sólido vai de 0 até 3 . De forma circular. Então em coordenadas retangulares no plano x y temos:

x 2 + y 2 = 9

A correspondência entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é:

x = r c o θ ,     y = r s e n θ ,     z = z

E temos que em coordenadas cilíndricas: x 2 + y 2 = r 2 . Então temos:

r 2 = 9 ∴ r = ± 3

Mas como queremos apenas a parte do primeiro quadrante:

0 < r < 3

Passo 2

Agora para θ . O ângulo contempla apenas o primeiro quadrante, então:

0 < θ < π / 2

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar z . A altura desse cilindro vai do plano x y , até o plano z = 2 . Então a coordenada z está entre:

0 < z < 2

Assim a integral de volume fica:

V = ∭ f x , y , z d V = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 ∫ 0 2 f r c o s θ ,   r s e n θ ,   z r . d z . d r . d θ

Resposta

∇ × f F → = f ∇ × F → + ( ∇ f ) × F →

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