Enunciado

Um silo de grãos consiste em um cilindro com 30 pés de altura e telhado hemisférico. A fim de obter um volume total de 15.000 pés³ (inclusive a parte hemisférica), qual deveria ser o raio do silo?

Passo 1

O volume total do silo pode ser calculado através de seu raio r , somando os volumes do hemisfério e do cilindro:

V = V c i l i n d r o + V h e m i s f e r i o = π r 2 h + 1 2 ⋅ 4 3 π r 3

Mas sabemos do enunciado que V = 15000 e que h = 30 :

15000 = 30 π r 2 + 2 3 π r 3

Temos então uma equação, que devemos resolver para determinar r . Vamos usar pra isso o método de Newton.

Passo 2

Temos que achar a raiz da função:

f x = 30 π x 2 + 2 3 π x 3 - 15000

Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Temos:

f x = 30 π x 2 + 2 3 π x 3 - 15000

f ' x = 60 π x + 2 π x 2

Então a fórmula fica:

x n + 1 = x n - 30 π x n 2 + 2 3 π x n 3 - 15000 60 π x n + 2 π x n 2

Agora basta escolher uma aproximação inicial adequada, e então aplicar a fórmula. Vamos tentar encontrar r com uma precisão de 3 casas decimais, então aplicamos o método até os resultados não diferirem até a 3 casa.

Passo 3

Vamos tentar descobrir onde está a raiz da função, aproximadamente, para aplicar a aproximação inicial. Calculamos f ( x ) para alguns valores de x positivos.

f 1 = - 14904

f 5 = - 12382

f 10 = - 3481

f 15 = 13274

Vemos que existe uma raiz entre 10 e 15. Como ela está mais próxima de 10, vamos começar com x 1 = 10 . Aplicando então o método:

x 1 = 10

x 2 = 10 - 30 π 10 2 + 2 3 π 10 3 - 15000 60 π 10 + 2 π 10 2 = 11.38497

x 3 = 11.38497 - 30 π 11.38497 2 + 2 3 π 11.38497 3 - 15000 60 π 11.38497 + 2 π 11.38497 2 = 11.28132

x 4 = 11.28132 - 30 π 11.28132 2 + 2 3 π 11.28132 3 - 15000 60 π 11.28132 + 2 π 11.28132 2 = 11.28071

x 5 = 11.28071 - 30 π 11.28071 2 + 2 3 π 11.28071 3 - 15000 60 π 11.28071 + 2 π 11.28071 2 = 11.28071

Como x 4 e x 5 coincidem até a 5 casa decimal, encontramos a raiz da equação, x = 11,280 . Esse é o valor que deve ter o raio do silo:

r = 11,28   p é s

Resposta

r = 11,28   p é s

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