Simplifique: 2^(log_4(x))

Passo 1

Então, gente, esse exercício se difere um pouco dos demais que tem um número elevado a um log porque dentro desse log aí tem um x . Então, a resposta que a gente vai achar não vai ser um número, igual nas outras vezes, mas sim algo envolvendo o x . Não se preocupa que vou te esclarecer durante o seguinte passo-a-passo:

Passo 2) vamos chamar esse troço lindo aí de y e vamos passar log dos dois lados

Passo 3) vamos usar as propriedades de log pra ir melhorando a cara da nossa equação

Passo 4) vamos achar quanto vale y , que é o que chamamos a nossa expressão, e acabamos!

Passo 2

Como eu disse ali em cima, vamos chamar isso tudo de y . Por quê? Simples, porque aí a gente vai ter uma equação e vamos brincar com as propriedades de log nela. Aí, quando a gente achar quanto vale y , esse valor vai ser o valor da nossa expressão. Beleza?

2 l o g 4     x   =   y

Como o nosso log tá lá em cima, vamos dar um jeito de descer com ele pra ficar mais fácil pra gente. Pra isso, vamos passar o log dos dois lados pra gente poder usar uma propriedade específica que a gente vai ver no próximo passo. Mas antes, temos que escolher uma base pra gente usar no log que vamos adicionar ali. Tá vendo que a base do log que tá no expoente é 4? Então vamos usar o 4 mesmo pra facilitar um cadinho nossa vida hehe

l o g 4   ( 2 l o g 4     x )   =   l o g 4   y

Passo 3

Nesse passo, eu vou te mostrar uma propriedade de log que a gente vai usar aí, que é essa daqui: l o g b     a n   =   n   l o g b     a

Ou seja, se tem algum expoente dentro do log, a gente pode descer ele. E é isso que vamos fazer aqui com a nossa equação l o g 4   ( 2 l o g 4     x )   =   l o g 4   y . Tá vendo que dentro do log tem um expoente (que é outro log kkkk)? Pela propriedade, vamos descer ele assim:

l o g 4   x   l o g 4   2   =   l o g 4   y

Agora eu vou fazer uma matemágica ali naquele l o g 4   2 , porque eu quero simplificar ele. Então, vou fazer aparecer alguma coisa com 4 (que é a nossa base) no lugar do 2. E voilá:

l o g 4   x   l o g 4   4   =   l o g 4   y

Concorda que eu não afetei o valor da equação, já que 2   = 4 ?

Agora, vamos usar um negocinho de raízes, que é o seguinte: n   =   n 1 / 2 ,   para todo n ≥ 0 , show?

l o g 4   x   l o g 4 ( 4 1 2 )   =   l o g 4   y

E voltando a usar a propriedade que desce expoente…

l o g 4   x     1 2   l o g 4   4   =   l o g 4   y

Vamos lembrar que l o g n   n   = 1 pra qualquer n ≠ 0   e   n   > 1

l o g 4   x     1 2   =   l o g 4   y

Agora a gente vai inverter a propriedade. Ou seja, se a propriedade “desce” o expoente, vamos fazer o sentido contrário e “subir” o 1 2 pra virar expoente. Assim, ó:

l o g 4   ( x 1 2 )     =   l o g 4   y

l o g 4 ( x )       =   l o g 4   y

Passo 4

Agora é a hora da verdade: vamos achar y !

l o g 4 ( x )       =   l o g 4   y

Olha só, pra um lado ser igual ao outro, o y tem que ser igual a x , consegue ver? Isso é porque o logaritmo é uma função injetora, que quer dizer que se tem dois logs (de mesma base) iguais, quer dizer que os logaritmandos (o outro número que não é a base) tem que ser iguais!

Então y   =   x e como y   = 2 l o g 4     x , a nossa expressão vale x :)

Resposta

x

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