Enunciado

Crescimento populacional: A população de Glenbook é de 375.000 habitantes, e cresce à taxa de 2,25% por ano. Preveja quando a população chegará a 1 milhão.

Passo 1

Então, galera, essa questão tá pedindo apenas pra vocês adaptarem esse problema específico em uma equação geral (já existente) pra problemas assim. A equação é essa, olha:

P   = N   × ( 1   + i ) t , onde P é a população final, N é a população inicial, i é quanto ela cresce e t é o tempo (pode ser medido em dias, meses, anos, etc). Ok?

Só a título de curiosidade, essa equação é a mesma pra juros compostos, mas com letras diferentes.

Depois de montar a equação no molde do nosso problema, nós vamos calcular o que ele quer. Ele quer que você descubra o tempo ( t ) pra que a população ( P ) chegue a 1 milhão. Bora ver como faz?

Passo 2

Agora é só continha!

Vamos jogar os valores que o problema deu e achar a nossa função:

P   = N   × ( 1   + i ) t   →   P   = 375.000   × ( 1   + 0,0225 ) t   → P   = 375.000   × ( 1,0225 ) t  

PS: aquele 0,0225 é a mesma coisa que os 2,25%, tá?

Agora, ele quer o tempo pra que P   =   1.000.000

  P   = 375.000   × ( 1,0225 ) t   →   1.000.000   = 375.000   × ( 1,0225 ) t   → 1.000.000 375.000   = ( 1,0225 ) t   → 2,66   = ( 1,0225 ) t

Tá vendo que o que a gente quer (o tempo) tá no expoente? Pra tirar de lá, a gente aplica logaritmo dos dois lados. Mas qual a base? Pra facilitar a vida, a gente pode usar a base 2,66 ou a base 1,0225, mas, como 2,66 tá mais bonitinho, vamos usar ele mesmo hehe.

2,66   = ( 1,0225 ) t   → l o g 2,66   2,66   = l o g 2,66   ( 1,0225 ) t  

Agora, vamos lembrar essa propriedade de logaritmo       l o g b     a n   =   n   l o g b     a

E essa também l o g n   n   = 1 pra qualquer n ≠ 0   e   n   > 1

Então, vai ficar assim:

1   = t   l o g 2,66   ( 1,0225 )

Aqui eu tive que fazer na calculadora mesmo kkkkk

l o g 2,66   ( 1,0225 )   ≃   0,023

1   = t   l o g 2,66   ( 1,0225 ) → 1   = 0,023   t   →   t   =   1 0,023   =   43,47 anos

É muuuuuuito tempo, mas repara que aquele crescimento ali era anual, então é pra ser demorado mesmo

Resposta

Em 43,47 anos

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f x = 32 + 9 x 5
f t = 1000 ( 1 + 0,12 t )
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f x = x + 5 x + k