Enunciado

Simplifique: 9^()^(l o g _3 x)

Passo 1

Então, gente, esse exercício se difere um pouco dos demais que tem um número elevado a um log porque dentro desse log aí tem um x . Então, a resposta que a gente vai achar não vai ser um número, igual nas outras vezes, mas sim algo envolvendo o x . Não se preocupa que vou te esclarecer durante o seguinte passo-a-passo:

Passo 2) vamos chamar esse troço lindo aí de y e vamos passar log dos dois lados

Passo 3) vamos usar as propriedades de log pra ir melhorando a cara da nossa equação

Passo 4) vamos achar quanto vale y , que é o que chamamos a nossa expressão, e acabamos!

Passo 2

Como eu disse ali em cima, vamos chamar isso tudo de y . Por quê? Simples, porque aí a gente vai ter uma equação e vamos brincar com as propriedades de log nela. Aí, quando a gente achar quanto vale y , esse valor vai ser o valor da nossa expressão. Beleza?

9^()^(l o g _3 x) = y

Como o nosso log tá lá em cima, vamos dar um jeito de descer com ele pra ficar mais fácil pra gente. Pra isso, vamos passar o log dos dois lados pra gente poder usar uma propriedade específica que a gente vai ver no próximo passo. Mas antes, temos que escolher uma base pra gente usar no log que vamos adicionar ali. Tá vendo que a base do log que tá no expoente é 3? Então vamos usar o 3 mesmo pra facilitar um cadinho nossa vida hehe

l o g _3 ( 9^()^(l o g _3 x) ) = l o g _3 y

Passo 3

Nesse passo, eu vou te mostrar uma propriedade de log que a gente vai usar aí, que é essa daqui: l o g _b a^()^n = n l o g _b a

Ou seja, se tem algum expoente dentro do log, a gente pode descer ele. E é isso que vamos fazer aqui com a nossa equação l o g _3 ( 9^()^(l o g _3 x) ) = l o g _3 y . Tá vendo que dentro do log tem um expoente (que é outro log kkkk)? Pela propriedade, vamos descer ele assim:

l o g _3 x l o g _3 9 = l o g _3 y

l o g _3 x l o g _3 3^()^2 = l o g _3 y

E voltando a usar a propriedade que desce expoente…

l o g _3 x 2 l o g _3 3 = l o g _3 y

Vamos lembrar que l o g _n n = 1 pra qualquer n != 0 e n > 1

l o g _3 x 2 = l o g _3 y

Agora a gente vai inverter a propriedade. Ou seja, se a propriedade “desce” o expoente, vamos fazer o sentido contrário e “subir” o 2 pra virar expoente. Assim, ó:

l o g _3 ( x^()^2 ) = l o g _3 y

Passo 4

Agora é a hora da verdade: vamos achar y !

l o g _3 ( x^()^2 ) = l o g _3 y

Olha só, pra um lado ser igual ao outro, o y tem que ser igual a x^()^2 , consegue ver? Isso é porque o logaritmo é uma função injetora, que quer dizer que se tem dois logs (de mesma base) iguais, quer dizer que os logaritmandos (o outro número que não é a base) tem que ser iguais!

Então y = x^()^2 e como y = 9^()^(l o g _3 x) , a nossa expressão vale x^()^2 :)

Resposta

x^()^2

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