Enunciado

O sistema

resulta de uma aproximação das equações de Hodgkin-Huxley, que moderam a transmissão de impulsos neurais ao longo de um axônio.

Considere a trajetória que sai do ponto crítico (2, 0). Encontre o valor de γ para o qual essa trajetória se aproxima da origem quando t → ∞. Desenhe um retrato de fase para esse valor de γ.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Oque nos leva a:

-   y = 0     ∴     y = 0

x x - 0,15 x - 2 = 0

Vamos montar o Jacobiano:

J =   0 - 1 - 3 x 2 + 4,3 x - 0,3 - γ

J 0   ,   0 =   0 - 1 - 0,3 - γ         → p o n t o   d e   s e l a

J 0,15   ,   0 =   0 - 1 0,2775 - γ       →     p o n t o   e s p i r a l

J 2   ,   0 =   0 - 1 - 3,7 - γ       → p o n t o   d e   s e l a

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Para satisfazer ao ponto de sela (2,0), vamos testando os valores para achar o melhor valor para gamma. Assim, depois de vááááááárias tentativas e erros, chegamos ao resultado final...

Rufem os tambores...

Para γ = 1,2 :

Resposta

Para γ = 1,2 :

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O sistema resulta de uma aproximação das equações de Hodgkin-Huxley, que moderam a transmissão de impulsos neurais ao longo de um axônio.Desenhe os retratos de fase para γ = 0,8 e γ = 1,5.
Esboce as retas de crescimento nulo e descreva como os pontos críticos se movem quando α aumenta.
Para αα0 não existem pontos críticos. Escolha um desses valores de α e desenhe um retrato de fase..