Enunciado

Considere o sistema (3) no Exemplo 1 do texto. Lembre-se de que esse sistema tem um ponto critico assinoticamente estavel em (0,5; 0,5), correspondente a coexistência estável das populações das duas espécies. Suponha, agora, que a imigração ou emigração ocorrem com taxas constantes δa e δb para as espécies x e y, respectivamente. Nesse caso, as Eqs. (3) são substituídas por

O problema é saber qual efeito disto na localização do ponto de equilíbrio estável.

Para encontrar o novo ponto critico, precisamos resolver as equações

Um modo de fazer isto e supor que x e y são dados por séries de potencias no parâmetro δ; então,

Substitua as Eqs. (iii) nas Eqs. (ii) e junte os termos de acordo com as potências de δ.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

x 1 - x - y + δ a = 0

x 0 + x 1 δ + … 1 - x 0 - x 1 δ - … - y 0 + δ a = 0

x 0 1 - x 0 - y 0 + δ x 1 - 2 x 0 x 1 - x 0 y 1 - x 1 y 0 + a + … = 0

Seguindo o mesmo raciocínio, obtemos a sequência para y.

y 0 0,75 - 0,5 x 0 - y 0 + δ 0,75 y 1 - 2 y 0 y 1 - 1 2 x 0 y 1 - 1 2 x 1 y 0 + b + … = 0

Resposta

x 0 1 - x 0 - y 0 + δ x 1 - 2 x 0 x 1 - x 0 y 1 - x 1 y 0 + a + … = 0

y 0 0,75 - 0,5 x 0 - y 0 + δ 0,75 y 1 - 2 y 0 y 1 - 1 2 x 0 y 1 - 1 2 x 1 y 0 + b + … = 0

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