Enunciado

Suponha que, em um dado ano, o número de casos de uma doença seja reduzido em 20 % . Se existem 10.000 casos hoje, quantos anos serão necessários para:

a) Reduzir o número de casos para 1000?

b) Erradicar a doença; isto é, reduzir o número de casos para menos de 1?

Passo 1

Conforme discutido na seção 5 do George, para resolvermos problemas de crescimento temos que utilizar a equação que descreve o comportamento desse crescimento, galera. A função comentada é do tipo:

y t = C . e k t

No qual C e k são duas constantes. Para termos uma função completa, devemos descobrir os valores dessas duas constantes, que é o que faremos, ok? Então bora que bora!

Passo 2

a) Antes de resolvermos, devemos encontrar as constantes utilizando os pontos dados pela questão, tranquilo? Vale ressaltar também que y é exatamente o número de casos da doença. A questão nos diz que inicialmente existem 10.000 casos, certo? Sendo assim, para t = 0   ⇒ y = 10.000 . Substituindo os valores na equação, teremos:

y t = C . e k t

10.000 = C . e 0 k

∴ C = 10.000

Ok, encontramos nossa primeira constante. Show!

Passo 3

Agora temos que nos atentar a uma interpretação, ok? O enunciado diz que quando se passarem 1   a n o o valor de 10.000 será reduzido em 20 % . A taxa de redução anual no número de casos da doença é de 20 % , o que implica que a cada ano um novo valor de casos será reduzido em 20% novamente até erradicarem a doença. Sendo assim, temos:

20 100 × 10.000 = 2.000

Depois de um ano o número de casos da doença será reduzido para 8.000 , certo? Sendo assim, o ponto que nos é dado é que para t = 1 ⇒ y = 8.000 . Substituindo os pontos na função, teremos:

y t = 10.000 . e k t

8.000 = 10.000 . e 1 k

e k = 8.000 10.000

0,8 =   e k

Aplicando l n em ambos os lados da equação, teremos o seguinte:

ln ⁡ 0,8 = ln ⁡ e k

Para o lado direito devemos lembrar da seguinte regrinha que diz que:

ln ⁡ x n = n . ln ⁡ x

Logo:

ln ⁡ 0,8 = k . ln ⁡ e

Como ln ⁡ e = 1 , então:

k = ln ⁡ 0,8

∴ k ≅   - 0,223

Passo 4

Agora que descobrimos os valores de C e k , temos que a função completa será:

y t = 10.000 . e - 0,223 t

E agora conseguimos descobrir quantos casos existirão para QUALQUER intervalo de tempo! Para reduzir os casos para 1.000, o tempo necessário será:

1.000 = 10.000 . e - 0,223 t

e - 0,223 t = 0,1

Aplicando l n em ambos os lados, assim como fizemos no passo anterior:

ln ⁡ e - 0,223 t = ln ⁡ 0,1

- 0,223 t . ln ⁡ e = ln ⁡ 0,1

t = ln ⁡ 0,1 - 0,223 = - 2,302 - 0,223

∴ t ≅ 10,32   a n o s

Passo 5

b) Para reduzir os casos para 1, o tempo necessário será:

1 = 10.000 . e - 0,223 t

e - 0,223 t = 0,0001

Aplicando l n em ambos os lados, assim como fizemos no passo anterior:

ln ⁡ e - 0,223 t = ln ⁡ 0,0001

- 0,223 t . ln ⁡ e = ln ⁡ 0,0001

t = ln ⁡ 0,0001 - 0,223 = - 9,210 - 0,223

∴ t   ≅ 41,3   a n o s

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

a) t ≅ 10,32   a n o s

b) t   ≅ 41,3   a n o s

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