Enunciado

A tabela mostra a média das distâncias d dos planetas ao Sol (tomando a unidade de medida para ser a distância da Terra ao Sol) e seus períodos T (tempo de revolução em anos).

  1. Ajuste um modelo de função potência aos dados.
  2. A terceira Lei de Kepler para o movimento Planetário estabelece que “O quadrado do período da revolução de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol”. Seu modelo confirma a terceira Lei de Kepler?  

Passo 1

Opa, bora lá!

O enunciado nos dá a seguinte tabela

Essa tabela mostra a média das distâncias d dos planetas ao Sol, a unidade de medida é o tamanho do Sol e seus períodos T em anos.

A primeira coisa que ele pede pra a gente fazer é o ajuste um modelo de função potência aos dados.

E tambem a partir da função que vamos obter, temos que verificar a terceira Lei de Kepler que diz “O quadrado do período da revolução de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol”. Ou seja

T 2 = k d 3

Onde k é uma constante.

Parece complicado?

Para resolver esse problema, como a questão nos indica a usar um software, vamos primeiramente usar o excel para obter uma função potencial do tipo

T = A d B

Em que A e B são constantes que vamos descobrir.

E depois vamos verificar se é possivel verificar a terceira Lei de Kepler.

Veja só!

Passo 2

Poderíamos fazer essas contas todas a mão, mas daria um trabalho imenso e precisaríamos de conhecimentos que ainda não temos...

Como essa questão está simbolizada no livro como uma questão que temos que usar o auxílio de recursos digitais, vamos usar o Excel a nosso favor.

Passando a tabela do enunciado no Excel, criamos um gráfico de T em função de d e usamos a ferramenta de Linha de Tendência de Potência para obter uma aproximação do comportamento da função

Depois exibimos a função que o Excel criou e nos deparamos com isso

Podemos aproximar a expressão presente no gráfico para:

T = d 1,5

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Beleza, agora na letra (b) a gente tem que analisar se esse ajuste obedece a lei de Kepler dada por:

T 2 = k d 3

No passo anterior encontramos que

T = d 1,5

Como na terceira Lei de Kepler temos T 2 vamos elevar os dois lados ao quadrado...

T 2 = d 1,5 2

Usando as propriedades de potências, temos que a b c = a b · c , ou seja

T 2 = d 1,5 · 2

T 2 = d 3

Comparando com T 2 = k d 3 , vemos que como k é uma constante, podemos confirmar que a Terceira Lei de Kepler é satisfeita e k = 1 .

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

( a )

( b ) Obedece a lei de Kepler

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